[论文解读] KMS states on C^*-algebras associated with self-similar sets

Tsuyoshi Kajiwara, Yasuo Watatani|arXiv (Cornell University)|May 27, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 10

一句话总结

该论文对具有有限分支点的自相似集所关联的 C*-代数上的规范作用的 KMS 状态进行了分类。通过为希尔伯特 C*-模构造一种“拼接基”，作者推导出博雷尔概率测度在自相似集上可延拓为 KMS 状态的条件，表明当 β = log N 时，若不存在分支点，则 Hutchinson 测度给出唯一的 KMS 状态；但当 β > log N 时，额外的 KMS 状态会从分支点轨道上支撑的测度中产生，如单位区间和 Sierpinski gasket 的例子所示。

ABSTRACT

In this paper, we study KMS states for the gauge actions on C${}^*$-algebras associated with self-similar sets whose branch points are finite. If the self-similar set does not contain any branch point, the Hutchinson measure gives the unique KMS state. But if the self-similar set dose contain a branch point, there sometimes appear other KMS states which come from branch points. For this purpose we construct explicitly a basis for a Hilbert C${}^*$-module associated with a self-similar set with finite branch condition. Using this we get condition for a Borel probability measure on K to be extended to a KMS state on the C${}^*$-algebra associated with the original self-similar set. We classify KMS states for the case of dynamics of unit interval and the case of Sierpinski gasket which is related with Complex dynamical system. KMS states for these examples are unique and given by the Hutchinson measure if $β$ is equal to $\log N$, where $N$ is the number of contractions. They are expressed as convex combinations of KMS states given by measures supported on the orbit of the branched points if $β> \log N$.

研究动机与目标

• 理解包含分支点的自相似集所关联的 C*-代数上规范作用的 KMS 状态结构。
• 刻画自相似集上的博雷尔概率测度在何种条件下可延拓为关联 C*-代数上的 KMS 状态。
• 建立不可逆动力系统中分支点轨道结构与 KMS 状态分类之间的联系。
• 提供一种直接的、基于基的迹延拓到 KMS 状态的证明，避免了先前工作中使用的扰动和弱极限技术。
• 明确分类两个关键例子中的 KMS 状态：单位区间上的帐篷映射和 Sierpinski gasket 上的有理映射。

提出的方法

• 为满足有限分支条件的自相似集所生成的希尔伯特 C*-双模构造一种“拼接基”。
• 利用可数基，表达 C(K) 上迹态延拓为 Cuntz-Pimsner 代数 O_X 上 KMS 态的条件。
• 推导出一种类似 Ruelle-Perron-Frobenius 的算子，用于刻画可延拓为 KMS 态的测度。
• 将该方法应用于两个典型例子：具有两个压缩映射的单位区间和具有三个压缩映射的 Sierpinski gasket。
• 利用逆分支的动力学和分支点的轨道结构，通过分支点轨道上支撑的态的凸组合对 KMS 态进行分类。
• 证明当 β > log N 时，KMS 态是每个分支点轨道所关联的极小态的凸组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限分支点的自相似集上，何种条件允许其上的博雷尔概率测度延拓为关联 C*-代数上的 KMS 态？
• RQ2 分支点的存在如何影响规范作用下 KMS 态的存在性与唯一性？
• RQ3 当逆温度 β 超过 log N 时，KMS 态空间的精确结构是什么？
• RQ4 分支点的轨道结构如何与 KMS 态分解为极小分量相关联？
• RQ5 Hutchinson 测度在具有或不具有分支点的自相似集的 KMS 态分类中起什么作用？

主要发现

• 对于不包含分支点的自相似集，当 β = log N 时，Hutchinson 测度给出唯一的 KMS 态。
• 当自相似集包含分支点（如 Sierpinski gasket）时，对于 β > log N，会出现额外的 KMS 态。
• 对于 Sierpinski gasket，当 β > log 3 时，β-KMS 态是三个极小 KMS 态的凸组合，每个极小态分别与三个分支点之一相关联。
• 每个 β > log 3 的极小 KMS 态均支撑于分支点的正向轨道上，且由在分支点逆像处具有点质量的测度给出。
• 在 Sierpinski gasket 上，当 β > log 3 时，β-KMS 态的集合同胚于一个二维单形，其顶点对应于三个分支点。
• 在具有两个压缩映射的单位区间情况下，唯一的 β-KMS 态仅存在于 β = log 2 时，且由归一化的勒贝格测度给出。