[论文解读] Knot invariants and higher representation theory II: the categorification of quantum knot invariants

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 52

一句话总结

本文使用Khovanov-Lauda-Rouquier代数对任意简单李代数的量子群的所有有限维表示的量子纽结不变量进行了范畴化，通过范畴化张量积表示实现。关键结果是一个双分次同调理论，其分次欧拉特征恢复了量子不变量，在使用标准表示时与已知的$σ\ell_2$、$σ\ell_3$和$σ\ell_n$不变量一致。

ABSTRACT

We construct knot invariants categorifying the quantum knot variants for all representations of quantum groups. We show that these invariants coincide with previous invariants defined by Khovanov for sl(2) and sl(3) and by Mazorchuk-Stroppel and Sussan for sl(n). Our technique uses categorifications of the tensor product representations of Kac-Moody algebras and quantum groups, constructed a prequel to this paper. These categories are based on the pictorial approach of Khovanov and Lauda. In this paper, we show that these categories are related by functors corresponding to the braiding and (co)evaluation maps between representations of quantum groups. Exactly as these maps can be used to define quantum invariants attached to any tangle, their categorifications can be used to define knot homologies.

研究动机与目标

• 为简单李代数$σ\mathfrak{g}$的任意有限维表示标记的纽结构造一个同调理论，范畴化相应的量子不变量。
• 将先前仅限于最小表示或基本表示的范畴化扩展至量子群的所有最高权表示。
• 通过系统范畴化$U_q(\mathfrak{g})$-表示的R矩阵和带辫子的范畴结构，统一并推广先前的纽结同调构造（例如Khovanov、Khovanov-Rozansky、Mazorchuk-Stroppel）。
• 证明所提出的同调理论在限制到标准表示时，与已知的$σ\ell_2$、$σ\ell_3$和$σ\ell_n$不变量一致。

提出的方法

• 使用分次有限维代数$T^{\underline{\boldsymbol{\lambda}}}$对$U_q(\mathfrak{g})$的张量积表示进行范畴化，其格罗滕迪克群实现$V_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes V_{\lambda_\ell}$的整数形式。
• 在这些范畴之间定义函子，范畴化带辫子的$U_q(\mathfrak{g})$-表示范畴中的辫子、（共）评价和对偶化映射。
• 使用Khovanov和Lauda的图式形式，通过这些范畴化映射的复合构造纽结不变量，类似于Reshetikhin-Turaev构造。
• 通过ES-等价和Koszul对偶性，证明与Sussan及Mazorchuk-Stroppel构造的函子等价。
• 利用$\mathfrak{gl}_N$的抛物范畴$ϵ\mathcal{O}$中的平移和扭变函子，建模范畴化的表示论结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有有限维表示（而不仅仅是极小或基本表示）的量子群构造统一的量子纽结不变量范畴化？
• RQ2 在高阶表示理论框架下，范畴化的R矩阵和（共）评价函子在多大程度上重现了已知的纽结同调（如Khovanov同调和Khovanov-Rozansky同调）？
• RQ3 所提出的纽结函子在多大程度上与文献中已有的构造（特别是Sussan和Mazorchuk-Stroppel的构造）一致？
• RQ4 所提出的同调理论是否在纽结 cobordism 下是函子性的？如果是，Morse理论中的柄分解构造如何产生独立的映射？

主要发现

• 所提出的同调理论$\mathcal{K}(L,\{\lambda_i\})$是一个双分次向量空间，其分次欧拉特征恢复了标记纽结的量子不变量。
• 当$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2$且纽结用标准表示标记时，构造恢复了Khovanov同调；当$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_3$时，恢复了Khovanov-Rozansky同调。
• 当$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$时，不变量与Mazorchuk-Stroppel-Sussan同调一致（在标准表示下），且猜想同构于Khovanov-Rozansky同调。
• 此处构造的范畴化交叉、杯和帽函子，通过ES-等价和Koszul对偶性，被证明与Sussan及Mazorchuk-Stroppel的函子等价。
• 该构造与通过Khovanov-Lauda-Rouquier代数对$U_q(\mathfrak{g})$-表示的范畴化一致，如本文第一部分所建立。