[论文解读] Knotted 3-balls in S^4

Ryan Budney, David Gabai|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用 13

一句话总结

本文证明了在四维球面 $S^4$ 和 $S^1 \times B^3$ 中存在无穷多个非同痕的扭结3-球面，并表明在 $S^4$ 中以平庸扭结为边界的标准3-球面并非在同痕意义下唯一。作者利用新型技术如哑铃微分同胚、嵌入与扭转，构造了商群 $\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 固定 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 固定 } \partial))$ 中无穷多个线性无关元素，证明扭结3-球面的同痕类空间具有无穷秩，并将这些结果推广至高维流形。

ABSTRACT

The unknot U in S^4 has non-unique smooth spanning 3-balls up to isotopy fixing U. Equivalently there are properly embedded non-separating 3-balls in S^1xB^3 not properly isotopic to 1xB^3. More generally there exist non-separating 3-spheres in S^1xS^3 not isotopic to 1xS^3 and non trivial elements of π_0 Diff_0(S^1xS^3). Along the way we introduce barbell diffeomorphisms, implantations and twistings to construct and modify diffeomorphisms homotopic to the identity. We also introduce a 2-parameter calculus of embeddings of the interval into 4-manifolds and introduce a framed cobordism method as well as a direct method for showing that certain 2-parameter families are homotopically non trivial and diffeomorphisms are isotopically nontrivial. Extensions to higher dimensional manifolds are obtained.

研究动机与目标

• 研究在 $S^4$ 和 $S^1 \times B^3$ 中以平庸扭结或标准2-球面为边界的适当嵌入3-球面的同痕分类。
• 证明在 $S^4$ 中以平庸扭结为边界的标准3-球面并非在同痕意义下唯一，与低维直觉相反。
• 利用新的几何与同伦技术，在 $S^1 \times B^3$ 和 $S^4$ 中构造无穷多个线性无关的扭结3-球面族。
• 将这些构造推广至高维流形，证明在 $\pi_{n-3}\mathrm{Diff}(S^1 \times B^n \text{ 固定 } \partial)$ 中存在非平凡同痕类，其中 $n \geq 3$。
• 证明 $S^1 \times B^3$ 中可约3-球面的同痕类群为无穷群，且其群结构由边界连通和操作定义。

提出的方法

• 引入哑铃微分同胚、嵌入与扭转技术，以构造和修改同伦于恒等映射但同痕于恒等映射的微分同胚。
• 使用区间在4-流形中嵌入的二维参数微积分方法，分析并构造非平凡的扭结3-球面同痕类。
• 应用带框架的余 bordism 方法与直接方法，证明某些二维参数嵌入族在同伦意义下非平凡，并诱导出同痕意义下非平凡的微分同胚。
• 通过类似于边界连通和的连接运算，定义扭结3-球面同痕类上的群结构。
• 通过构造 $S^1 \times B^3$ 上同伦于恒等映射但同痕于恒等映射的微分同胚的提升，显式构造 $S^4$ 中扭结3-球面的代表元。
• 利用 $S^4$ 中平庸扭结的余流形微分同胚于 $S^1 \times B^3$ 的事实，实现 $S^4$ 与 $S^1 \times B^3$ 之间结果的转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S^4$ 中是否存在无穷多个以平庸扭结为边界的同痕类的适当嵌入3-球面？
• RQ2 在 $S^1 \times B^3$ 上同伦于恒等映射但同痕于恒等映射的微分同胚是否能产生非同痕的扭结3-球面？
• RQ3 $S^1 \times B^3$ 中可约3-球面的同痕类群是否为无穷群？若是，其代数结构为何？
• RQ4 哑铃微分同胚与扭转技术能否推广至构造4-流形微分同胚群的高阶同伦群中的非平凡元素？
• RQ5 $S^1 \times S^3$ 中扭结3-球面的同痕类是否构成无穷群？其与微分同胚群 $\mathrm{Diff}_0(S^1 \times S^3)$ 的关系如何？

主要发现

• 本文在 $\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 固定 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 固定 } \partial))$ 中构造了无穷多个线性无关元素，证明 $S^1 \times B^3$ 中扭结3-球面的同痕类构成无穷群。
• 在 $S^4$ 中存在无穷多个非同痕的扭结3-球面，其边界为平庸扭结，表明边界3-球面在同痕意义下不唯一。
• $S^1 \times B^3$ 中可约3-球面的同痕类群同构于 $\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 固定 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 固定 } \partial))$，且该群为无穷阿贝尔群。
• 该构造可推广至高维，表明对所有 $n \geq 3$，$\pi_{n-3}\mathrm{Diff}(S^1 \times B^n \text{ 固定 } \partial)$ 包含无穷子群，将结果推广至高维。
• $\mathrm{Diff}_0(S^1 \times S^3)$ 中存在模 $\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 固定 } \partial)$ 的非平凡元素，意味着 $S^1 \times S^3$ 中存在非同痕的可约3-球面。
• $S^4$ 中与平庸2-球面同痕的2-球面嵌入空间 $\mathrm{Emb}_u(S^2, S^4)$ 不具有线性嵌入子空间的同伦型，表明扭结2-球面空间具有丰富的结构。