[论文解读] Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles and an application

Takuro Mochizuki|ArXiv.org|Nov 13, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 89

一句话总结

本文建立了光滑拟射影簇上驯服谐波丛的Kobayashi-Hitchin对应关系，证明了驯服谐波丛与具有平凡特征数的$μ_L$-半纯稳定抛物Higgs丛之间的等价性。此外，本文证明了$μ_L$-稳定抛物Higgs丛的Bogomolov-Gieseker型不等式，并将其应用于表明任意局部系统均可形变为极化Hodge结构的变体，从而对这类簇的基本群的离散群作为分裂商的可能施加了限制。

ABSTRACT

We establish the correspondence between tame harmonic bundles and $μ_L$-stable parabolic Higgs bundles with trivial characteristic numbers. We also show the Bogomolov-Gieseker type inequality for $μ_L$-stable parabolic Higgs bundles. Then we show that any local system on a smooth quasi projective variety can be deformed to a variation of polarized Hodge structure. As a consequence, we can conclude that some kind of discrete groups cannot be a split quotient of the fundamental group of a smooth quasi projective variety.

研究动机与目标

• 建立驯服谐波丛与具有平凡特征数的$μ_L$-半纯稳定抛物Higgs丛之间的对应关系。
• 证明$μ_L$-稳定抛物Higgs丛的Bogomolov-Gieseker型不等式。
• 证明任意光滑拟射影簇上的局部系统均可形变为极化Hodge结构的变体。
• 通过形变结果推导出光滑拟射影簇基本群的几何与算术约束。
• 表明某些离散群不能作为此类簇基本群的分裂商出现。

提出的方法

• 利用具有光滑紧化和法相交除子的光滑拟射影簇上的抛物Higgs丛与谐波丛理论。
• 在驯服情形下应用Kobayashi-Hitchin对应关系，通过Hermitian-Einstein度量将谐波丛与半纯稳定抛物Higgs丛联系起来。
• 采用$μ_L$-稳定性概念以定义相关的模理论框架。
• 通过抛物设定下的曲率与稳定性条件，建立Bogomolov-Gieseker型不等式。
• 将对应关系应用于平坦丛（局部系统），表明其可通过谐波丛结构形变为极化Hodge结构的变体。
• 利用此类形变的存在性，推导出对基本群的拓扑障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 驯服谐波丛与具有平凡特征数的$μ_L$-半纯稳定抛物Higgs丛之间的确切对应关系是什么？
• RQ2 在拟射影簇的背景下，$μ_L$-稳定抛物Higgs丛是否成立Bogomolov-Gieseker型不等式？
• RQ3 任意光滑拟射影簇上的局部系统是否均可形变为极化Hodge结构的变体？
• RQ4 该形变性质对光滑拟射影簇基本群施加了何种约束？
• RQ5 哪些离散群不能作为此类簇基本群的分裂商出现？

主要发现

• 驯服谐波丛与具有平凡特征数的$μ_L$-半纯稳定抛物Higgs丛之间的Kobayashi-Hitchin对应关系成立。
• 已建立$μ_L$-稳定抛物Higgs丛的Bogomolov-Gieseker型不等式，提供了关键的稳定性条件。
• 任意光滑拟射影簇上的局部系统均可形变为极化Hodge结构的变体。
• 因此，某些离散群不能是光滑拟射影簇基本群的分裂商。
• 该对应关系与形变结果在具有法相交除子的光滑紧化假设下成立。
• 本结果将经典的Kobayashi-Hitchin对应关系推广至非紧簇上的抛物与驯服情形。