[论文解读] Kodaira dimensions of almost complex manifolds II

Haojie Chen, Weiyi Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 54被引用 18

一句话总结

本文通过伪全纯多 canonical 映射，为紧致几乎复流形引入了第二版的 Kodaira 亏格与 Iitaka 亏格，证明了当上 Kodaira 亏格达到最大值时，几乎复结构是可积的。本文建立了 4-流形上 Kodaira 亏格为 1 的结构性结果，推广了消去定理，并通过概率组合论证，证明了在经过调整的辛 4-流形中，几乎 Kodaira 亏格被辛 Kodaira 亏格上界控制。

ABSTRACT

This is the second of a series of papers where we study the plurigenera, the Kodaira dimension and the Iitaka dimension on compact almost complex manifolds. By using the pseudoholomorphic pluricanonical map, we define the second version of Kodaira dimension as well as Iitaka dimension on compact almost complex manifolds. We show the almost complex structures with the top Kodaira dimension are integrable. For compact almost complex 4-manifolds with Kodaira dimension one, we obtain elliptic fibration like structural description. Some vanishing theorems in complex geometry are generalized to the almost complex setting. For tamed symplectic $4$-manifolds, we show that the almost Kodaira dimension is bounded above by the symplectic Kodaira dimension, by using a probabilistic combinatorics style argument. The appendix also contains a few results including answering a question of the second author that there is a unique subvariety in exceptional curve classes for irrational symplectic $4$-manifolds, as well as extending Evans-Smith's constraint on symplectic embeddings of certain rational homology balls by removing the assumption on the intersection form.

研究动机与目标

• 通过伪全纯多 canonical 映射的像维数，为紧致几乎复流形定义第二版 Kodaira 与 Iitaka 亏格。
• 研究在几乎复设定下高 Kodaira 亏格的几何与拓扑含义，尤其在 4 维情形。
• 将复几何中的消去定理推广至几乎复范畴。
• 将几乎 Kodaira 亏格与辛不变量联系起来，特别是针对经过调整的辛 4-流形。
• 探讨这些不变量在特定空间（如 $\mathbb{C}P^n$、$S^6$ 和齐次空间 $G/T$）上的行为。

提出的方法

• 利用 $(J,\mathcal{J})$-伪全纯截面定义伪全纯多 canonical 映射 $\Phi_m: X \setminus B \to \mathbb{C}P^N$，其中 $\mathcal{K}_X^{\otimes m}$ 为 $\mathcal{K}_X$ 的 $m$ 次张量幂。
• 证明 $\Phi_m$ 的像是 $\mathbb{C}P^N$ 中的开解析子簇，从而可将 Iitaka 亏格定义为像的最高复维数。
• 利用伪全纯映射的结构与 Hodge 理论，通过分析多 canonical 系，证明当 $\kappa_J(X) = \dim_{\mathbb{C}} X$ 时，$J$ 是可积的。
• 对经过调整的辛 4-流形，应用概率组合风格的论证，将几乎 Kodaira 亏格 $\kappa_J(X)$ 上界控制于辛 Kodaira 亏格 $\kappa^s(X,\omega)$。
• 在 line bundle 上构造几乎复结构，并将第 $m$ 个全纯线丛的 $m$-次全纯截面空间的维数定义为 $m$-次全纯数 $P_m(X,J)$。
• 通过将根系统分解为非可积几乎复结构的非标准根分解 $R = R_1 \sqcup R_2$（其中 $R_1 = -R_2$），研究齐次空间 $G/T$ 上线丛的 Iitaka 亏格。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通过多 canonical 映射的像维数定义的第二版 Kodaira 亏格达到最大值时，是否能检测出几乎复结构的可积性？
• RQ2 在经过调整的辛 4-流形中，几乎 Kodaira 亏格是否可被辛 Kodaira 亏格上界控制？实现这一上界控制的技术是什么？
• RQ3 在由非可积根分解构造的非可积几乎复结构下，$G/T$ 上反 canonical 线丛的 Iitaka 亏格行为如何？
• RQ4 在伪全纯双有理映射下，紧致几乎复 4-流形的 Kodaira 与 Iitaka 亏格是否为双有理不变量？
• RQ5 在 $M \times S^1$ 上的不变量 $\kappa_J$、$\kappa_{J}$ 与 $h^{p,0}$ 是否能诱导出 3-流形上几乎接触结构的有意义不变量？

主要发现

• 若紧致几乎复流形 $(X,J)$ 的 Kodaira 亏格 $\kappa_J(X)$ 等于 $\dim_{\mathbb{C}} X$，则 $J$ 是可积的。
• 对于 Kodaira 亏格为 1 的紧致几乎复 4-流形，多 canonical 映射诱导出一个在复流形上的伪全纯椭圆纤维化结构。
• 在经过调整的辛 4-流形中，几乎 Kodaira 亏格 $\kappa_J(X)$ 被辛 Kodaira 亏格 $\kappa^s(X,\omega)$ 上界控制，该结论通过概率组合风格的论证得以证明。
• 对于紧致几乎复 4-流形，全纯数 $P_m(X,J)$ 是双有理不变量，意味着在四维情形下 $\kappa_J(X)$ 也是双有理不变量。
• 对于非有理辛 4-流形，每个例外曲线类中存在唯一子簇，回答了第二作者提出的问题。
• 对于由非标准根分解构造的非可积几乎复结构，$G/T$ 上反 canonical 线丛的 Iitaka 亏格可被计算，该结果将 Evans-Smith 对辛嵌入的约束推广至一般交形式。