[论文解读] Kolmogorov complexity and the Recursion Theorem

Bjørn Kjos-Hanssen, Wolfgang Merkle+1 more|Jan 26, 2009

Hermeneutics and Narrative Identity被引用 8

一句话总结

本文利用柯尔莫哥洛夫复杂度，精确刻画了不满足递归定理的图灵度。研究发现，一个集合能计算一个对角非递归（DNR）函数，当且仅当其初始段具有非平凡的柯尔莫哥洛夫复杂度下界——具体而言，是通过递归或与预言机相关的下界，针对普通复杂度或前缀无关复杂度进行界定——从而将计算强度与算法随机性和复杂度理论联系起来。

ABSTRACT

Several classes of DNR functions are characterized in terms of Kolmogorov complexity. In particular, a set of natural numbers A can wtt-compute a DNR function iff there is a nontrivial recursive lower bound on the Kolmogorov complexity of the initial segments of A. Furthermore, A can Turing compute a DNR function iff there is a nontrivial A-recursive lower bound on the Kolmogorov complexity of the initial segements of A. A is PA-complete, that is, A can compute a {0,1}-valued DNR function, iff A can compute a function F such that F(n) is a string of length n and maximal C-complexity among the strings of length n. A solves the halting problem iff A can compute a function F such that F(n) is a string of length n and maximal H-complexity among the strings of length n. Further characterizations for these classes are given. The existence of a DNR function in a Turing degree is equivalent to the failure of the Recursion Theorem for this degree; thus the provided results characterize those Turing degrees in terms of Kolmogorov complexity which do no longer permit the usage of the Recursion Theorem.

研究动机与目标

• 使用柯尔莫哥洛夫复杂度，刻画不满足递归定理的图灵度。
• 澄清DNR函数与集合初始段复杂度存在非平凡下界之间的精确关系。
• 研究为每个长度计算最大柯尔莫哥洛夫复杂度字符串所需的计算强度。
• 以复杂度界和预言机计算为框架，提供高图灵度、PA-完全度和自复杂集合的刻画。
• 通过复杂度与可定义性约束，探索自复杂集合与递归可枚举可追踪集合之间的对偶性。

提出的方法

• 通过普通柯尔莫哥洛夫复杂度 $C(A\upharpoonright n)$ 的递归或预言机依赖下界，引入复杂集合与自复杂集合的概念。
• 使用 wtt- 和 T- 归约，将 DNR 函数的存在性与集合初始段复杂度的下界联系起来。
• 应用 SDNR（强对角非递归）函数的概念，弥合复杂度与递归理论性质之间的鸿沟。
• 利用通用图灵机和前缀无关复杂度 $H$，分析计算最大复杂度字符串的难度。
• 建立预言机计算最大复杂度字符串与高图灵度或 PA-完全性之间的等价关系。
• 使用可追踪性与递归有界函数，刻画避免 DNR 行为的集合，将其与低复杂度及递归理论限制联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图灵度不满足递归定理？这种失效如何通过柯尔莫哥洛夫复杂度来刻画？
• RQ2 一个集合能计算 DNR 函数，与该集合初始段复杂度存在非平凡递归或预言机依赖下界之间，存在何种精确关系？
• RQ3 为每个 $n$ 计算长度为 $n$ 且具有最大前缀无关柯尔莫哥洛夫复杂度的字符串，其难度如何？这与判定停机问题有何关联？
• RQ4 如何以初始段的复杂度界为框架，对 PA-完全度和高图灵度进行刻画？
• RQ5 递归可枚举可追踪集合与 DNR 函数的缺失之间有何关系？它们表现出何种复杂度理论性质？

主要发现

• 集合 $A$ 能 wtt- 计算 DNR 函数，当且仅当存在 $C(A\upharpoonright n)$ 的非平凡递归下界。
• 集合 $A$ 能图灵- 计算 DNR 函数，当且仅当存在 $A$- 递归的非平凡下界，使得 $C(A\upharpoonright n)$ 不小于该下界。
• 集合 $A$ 是 PA-完全的，当且仅当它能计算一个函数 $F$，使得 $F(n)$ 是长度为 $n$ 且在所有长度为 $n$ 的字符串中具有最大 $C$- 复杂度的字符串。
• 集合 $A$ 满足 $A \geq_T K$，当且仅当它能计算一个函数 $F$，使得 $F(n)$ 是长度为 $n$ 且在所有长度为 $n$ 的字符串中具有最大 $H$- 复杂度的字符串。
• 无论使用何种通用图灵机，为每个 $n$ 计算最大前缀无关复杂度字符串的问题，其难度与解决停机问题相当。
• 集合 $A$ 是递归可枚举可追踪的，当且仅当每个在 $A$ 上可计算的函数都不是 SDNR，且这等价于在与对角函数的相容集上存在一个递归有界函数。