[论文解读] Kolmogorov's Theory of Turbulence and Inviscid Limit of the Navier-Stokes Equations in $\\R^3$

Gui‐Qiang Chen, James Glimm|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2010

Navier-Stokes equation solutions被引用 6

一句话总结

本文通过利用柯尔莫哥洛夫的路径式假设（K41w），为三维不可压缩纳维-斯托克斯方程向欧拉方程的无粘极限建立了一个数学框架，该假设意味着分数阶导数的有界性与粘性无关。关键结果是速度的强 $L^q$ 收敛以及被动标量的弱-* 收敛到 Young 测度极限，为高雷诺数湍流中的数值收敛性和存在性理论提供了严格基础。

ABSTRACT

We are concerned with the inviscid limit of the Navier-Stokes equations to the Euler equations in $\\R^3$. We first observe that a pathwise Kolmogorov hypothesis implies the uniform boundedness of the $\\alpha^{th}$-order fractional derivative of the velocity for some $\\alpha>0$ in the space variables in $L^2$, which is independent of the viscosity $\\mu>0$. Then it is shown that this key observation yields the $L^2$-equicontinuity in the time and the uniform bound in $L^q$, for some $q>2$, of the velocity independent of $\\mu>0$. These results lead to the strong convergence of solutions of the Navier-Stokes equations to a solution of the Euler equations in $\\R^3$. We also consider passive scalars coupled to the incompressible Navier-Stokes equations and, in this case, find the weak-star convergence for the passive scalars with a limit in the form of a Young measure (pdf depending on space and time). Not only do we offer a framework for mathematical existence theories, but also we offer a framework for the interpretation of numerical solutions through the identification of a function space in which convergence should take place, with the bounds that are independent of $\\mu>0$, that is in the high Reynolds number limit.

研究动机与目标

• 建立三维纳维-斯托克斯方程向欧拉方程无粘极限的严格数学框架。
• 在物理上合理的正则性假设下，证明纳维-斯托克斯解向欧拉解的收敛性。
• 提供与粘性无关的统一有界性，使高雷诺数极限下的分析成为可能。
• 将收敛理论扩展至被动标量，表明其弱-* 收敛到时空依赖的 Young 测度。
• 通过具有粘性无关有界性的函数空间，为数值解提供新解释。

提出的方法

• 假设柯尔莫哥洛夫1941年湍流假设的路径式版本（K41w），该假设意味着对某个 $\alpha>0$，速度的 $\alpha$ 阶分数阶导数在 $L^2$ 中有统一有界性。
• 推导出时间上的 $L^2$-等连续性以及速度在 $q>2$ 下的统一 $L^q$ 有界性，两者均与粘性 $\mu>0$ 无关。
• 利用这些统一估计，证明在 $\mathbb{R}^3$ 中纳维-斯托克斯解强收敛于欧拉方程的一个解。
• 分析与纳维-斯托克斯方程耦合的被动标量，并建立其在 $L^∞$ 对偶空间中的弱-* 收敛性。
• 将被动标量极限表示为时空依赖的 Young 测度，解释为概率密度函数（pdf）。
• 以与 $\mu$ 无关的函数空间中的收敛性来表述结果，从而为数值模拟提供严格解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 在物理上合理的正则性假设下，能否严格建立三维纳维-斯托克斯方程向欧拉方程的无粘极限？
• RQ2 柯尔莫哥洛夫的 K41 假设是否蕴含足够的统一正则性，以确保当粘性趋于零时纳维-斯托克斯解的收敛性？
• RQ3 在无粘极限下，被动标量的收敛类型为何？如何从数学上表述？
• RQ4 被动标量场的极限能否表示为 Young 测度？这对解的非线性泛函有何含义？
• RQ5 如何通过与粘性无关的函数空间框架，在高雷诺数极限下解释数值解？

主要发现

• 路径式柯尔莫哥洛夫假设（K41w）意味着速度的 $\alpha$ 阶分数阶导数在 $L^2$ 中有与粘性 $\mu>0$ 无关的统一有界性。
• 这些有界性导致时间上的 $L^2$-等连续性以及 $q>2$ 下速度的统一 $L^q$ 有界性，两者均与 $\mu$ 无关。
• 统一估计导致纳维-斯托克斯解在 $\mathbb{R}^3$ 中强收敛于欧拉方程的一个解。
• 对于被动标量，其极限被证明弱-* 收敛于一个时空依赖的 Young 测度，代表一个概率密度函数（pdf）。
• Young 测度表述允许解的非线性函数通过极限，而经典弱-* 收敛则不能。
• 该框架为解释数值解提供了与粘性无关的函数空间，并支持高雷诺数极限下的存在性理论。