[论文解读] Komplexe elliptische Geschlechter und S^1-aequivariante Kobordismustheorie (Complex elliptic genera and S^1-equivariant cobordism theory)

Gerald Hoehn|arXiv (Cornell University)|May 12, 2004

Geometric and Algebraic Topology被引用 9

一句话总结

本学位论文将椭圆亏格理论从定向流形推广至具有U-结构的复流形，通过S¹-等变cobordism理论建立复椭圆亏格的框架。该论文利用模形式对这些亏格进行表征，并证明其在S¹作用下的整性与刚性，通过特征幂级数与等变指标理论，将Ochanine与Witten的经典结果推广至复情形。

ABSTRACT

We introduce the universal complex elliptic genus phi_ell as the ring homomorphism from the complex cobordism ring Omega^U to the polynomial ring C[A,B,C,D] associated to the characteristic power series Q(x)=x/f(x), where f is the solution of the differential equation (f'/f)'=S(f'/f), S(y) = (y+A/2)^4-B/4*(y+A/2)^2+4C*(y+A/2)+B^2/64-2D. Formally, phi_ell arises as the index of the Dolbeault operator of the loop space of a manifold. For manifolds with vanishing first Chern class, phi_ell becomes a Jacobi form F(z,τ) for the full Jacobi group Z^2 x PSL_2(Z). We prove the rigidity of phi_ell for S^1-actions on SU-manifolds. The kernel of phi_ell in the rational SU-cobordism ring is characterized as the ideal generated by manifolds with S^1-action of fixed type t (an integer) different from 0. For z to be an N-division point on the elliptic curve determined by τ, phi_ell specializes to the Level N genus phi_N. We introduce the cobordism ring Omega^{U,N} of stably almost complex manifolds with first Chern class divisible by N and characterize the kernel of phi_N by certain ideals in the rationalized ring Omega^{U,N}. In Chapter 1, we construct a base sequence W_1, W_2, W_3, ... of the rational cobordism ring Omega^U on which phi_ell has the values A, B, C, D, and 0 for W_i with i>=5. In Chapter 2, phi_ell and phi_N are investigated and the main results are proven. Chapter 3 contains the further result that the level N genus is invariant under the blow up along a submanifold Y of a complex manifold X if the codimension of Y in X is congruent 1 modulo N.

研究动机与目标

• 将此前定义于定向流形与Spin流形的椭圆亏格理论，推广至具有U-结构的复流形。
• 通过S¹-等变cobordism与Γ₁(N)相关的模形式，建立复椭圆亏格的表征。
• 证明普遍复椭圆亏格在S¹作用下为整数且具有刚性，推广实情形与Spin情形的结果。
• 研究复椭圆亏格的核，以由具有有效S¹作用的流形生成的cobordism理想来描述。
• 通过特征幂级数与等变指标理论，提供该亏格的上同调解释。

提出的方法

• 本文将复椭圆亏格φ_ell定义为与特征幂级数Q(x) = x/f(x)相关的亏格，其中f为椭圆积分的逆函数。
• 利用S¹-等变cobordism理论研究圆群在复流形上的作用，并将其与等变示性数联系起来。
• 证明该亏格取值于Γ₁(N)的模形式，且普遍亏格通过形式群律映射Ω_*^U ⊗ ℂ至M_*(Γ₁(N))。
• 本文运用特征类与陈类的理论，特别关注第一陈类被N整除的条件。
• 应用Hirzebruch讲义中的结果，并将Ochanine与Witten关于椭圆亏格的工作扩展至复情形。
• 刚性证明依赖于等变指标的结构以及该亏格在S¹作用下不动点数据下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆亏格理论如何从定向流形与Spin流形推广至具有U-结构的复流形？
• RQ2 S¹-等变cobordism在表征复椭圆亏格中起何种作用？
• RQ3 在何种条件下复椭圆亏格为整数？这与第一陈类的可除性有何关联？
• RQ4 复椭圆亏格的核在由具有有效S¹作用的流形生成的cobordism理想中如何表示？
• RQ5 该亏格的模性质如何与等变示性数及自由环路空间的结构相关联？

主要发现

• 当流形的第一陈类被N整除时，复椭圆亏格φ_ell为整数，推广了Spin情形的整性条件。
• 在第一陈类被N整除的复流形上，该亏格在S¹作用下具有刚性，将Witten与Ochanine的刚性定理推广至复情形。
• 复椭圆亏格的核被识别为由 admits 有效S¹作用的连通复流形生成的理想，与实情形类似。
• 该亏格取值于模形式Γ₁(N)，且普遍亏格通过特征幂级数映射Ω_*^U ⊗ ℂ至M_*(Γ₁(N))。
• 当结构群与U-结构相容时，该亏格在纤维为复流形的纤维丛中具有乘法性。
• 作为生成函数解释的自由环路空间的等变示性数，与复椭圆亏格一致，将Witten的解释推广至复流形。