[论文解读] Koopman Form of Nonlinear Systems with Inputs

Lucian Cristian Iacob, Roland Tóth+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 6

一句话总结

本文系统推导了带输入的连续时间和离散时间非线性系统的Koopman表示，表明所得模型为状态依赖输入矩阵的线性参数变化（LPV）模型——在标准线性时不变（LTI）Koopman模型失效的情况下，提供了精确描述。关键贡献在于提出了一种理论基础坚实的、精确的LPV Koopman公式化方法，可实现对带输入的非线性系统的精确建模与控制，同时量化了LTI Koopman模型的近似误差。

ABSTRACT

The Koopman framework proposes a linear representation of finite-dimensional nonlinear systems through a generally infinite-dimensional globally linear embedding. Originally, the Koopman formalism has been derived for autonomous systems. In applications for systems with inputs, generally a linear time invariant (LTI) form of the Koopman model is assumed, as it facilitates the use of control techniques such as linear quadratic regulation and model predictive control. However, it can be easily shown that this assumption is insufficient to capture the dynamics of the underlying nonlinear system. Proper theoretical extension for actuated continuous-time systems with a linear or a control-affine input has been worked out only recently, however extensions to discrete-time systems and general continuous-time systems have not been developed yet. In the present paper, we systematically investigate and analytically derive lifted forms under inputs for a rather wide class of nonlinear systems in both continuous and discrete time. We prove that the resulting lifted representations give Koopman models where the state transition is linear, but the input matrix becomes state-dependent (state and input-dependent in the discrete-time case), giving rise to a specially structured linear parameter-varying (LPV) description of the underlying system. We also provide error bounds on how much the dependency of the input matrix contributes to the resulting representation and how well the system behaviour can be approximated by an LTI Koopman representation. The introduced theoretical insight greatly helps for performing proper model structure selection in system identification with Koopman models as well as making a proper choice for LTI or LPV techniques for the control of nonlinear systems through the Koopman approach.

研究动机与目标

• 解决在连续和离散时间下，对一般非线性系统带输入的系统化Koopman表示的缺乏问题。
• 开发一个理论严谨的框架，将Koopman形式化方法从自治系统扩展至包含驱动动力学的系统。
• 表明所得到的Koopman模型为线性参数变化（LPV）系统，其输入矩阵具有状态依赖性，从而可使用先进的LPV控制工具。
• 量化常用LTI Koopman模型的近似误差，并展示其在捕捉真实系统动力学方面的局限性。
• 通过提供LPV相较于LTI表示的必要性理论见解，指导基于Koopman的系统辨识与控制中的模型结构选择。

提出的方法

• 通过将状态和输入映射到高维空间的可观测函数，推导出带输入的连续和离散时间非线性系统的提升Koopman形式。
• 应用链式法则和微积分基本定理，表明Koopman状态转移保持线性，但输入矩阵变为状态相关（在离散时间下为状态与输入相关）。
• 建立所得到的Koopman模型为一种特殊结构的线性参数变化（LPV）系统，其参数依赖性源于输入矩阵的状态变化。
• 基于微积分基本定理引入一个分解引理，证明输入矩阵可表示为偏导数的积分，从而实现精确表示。
• 引入一种带Tikhonov正则化的改进型扩展动态模式分解（EDMD）估计器，以提升系统辨识中的数值稳定性和模型精度。
• 在正则化参数上进行网格搜索，以最小化仿真中的预测误差，并在基准非线性系统上对比LTI与LPV Koopman模型的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为连续和离散时间下的通用非线性系统带输入，系统化地推导出Koopman表示？
• RQ2 在引入输入后，Koopman模型的结构形式是什么？其与标准LTI假设有何不同？
• RQ3 Koopman模型中输入矩阵的状态依赖性在多大程度上影响了模型表示的准确性，相较于LTI Koopman模型？
• RQ4 LTI Koopman模型的近似误差在理论上能否被界定并量化？
• RQ5 所推导的LPV Koopman模型能否用于改进带输入的非线性系统的系统辨识与控制设计？

主要发现

• 带输入的非线性系统的Koopman模型本质上是线性参数变化（LPV）系统，其输入矩阵依赖于状态，因此相比标准LTI Koopman模型，能提供更精确的表示。
• 所提出的LPV Koopman模型在数值仿真中已证明可精确表示原始非线性系统动力学，其精度达到机器精度。
• 尽管LTI Koopman模型被广泛使用，但其引入了有界但不可忽略的近似误差，且在系统非线性程度较高或输入变化较大时，误差会增大，尤其当输入矩阵非常量时更为明显。
• 带Tikhonov正则化的正则化EDMD可提升数值稳定性和模型精度，但当底层模型为LPV时，无法恢复系统的精确动力学。
• 增加LTI Koopman模型中可观测函数的数量并不能显著改善近似质量，反而可能导致不稳定或出现虚假特征值。
• 仿真结果证实，LPV Koopman模型在捕捉系统动力学方面优于LTI模型，尤其在多正弦和白噪声输入下，LTI模型无法准确反映真实行为。