[论文解读] Koopman Operator Family Spectrum for Nonautonomous Systems - Part 1

Senka Mačešić, Nelida Črnjarić-Žic+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种数据驱动算法，通过利用基本解矩阵和自适应可观测变量选择，计算线性非自治动力系统中Koopman算子族的谱。研究发现，标准的Arnoldi类方法因时间导数引起的特征值近似误差而失效，为此提出了使用非线性共轭可观测变量的算法2，实现了高精度，且在混合系统与连续时间系统中均通过精确特征值恢复得到验证。

ABSTRACT

For every non-autonomous system, there is the related family of Koopman operators $\mathcal{K}^{(t,t_0)}$, parameterized by the time pair $(t,t_0)$. In this paper we are investigating the time dependency of the spectral properties of the Koopman operator family in the linear non-autonomous case and we propose an algorithm for computation of its spectrum from observed data only. To build this algorithm we use the concept of the fundamental matrix of linear non-autonomous systems and some specific aspects of Arnoldi-like methods. In particular, we use Arnoldi-like methods on local data stencils, we exploit the information contained in the Krylov subspace projection error, and discover limitations in the application of Arnoldi-like methods to cases with continous time dependency. We present results of this data-driven algorithm on various linear non-autonomous systems, hybrid as well as continuous in time. In all the examples comparison with exact eigenvalues and eigenfunctions shows excellent performance of the proposed algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算线性非自治系统中Koopman算子族谱的数据驱动算法。
• 识别并解决标准Arnoldi类方法在近似时变Koopman算子时因时间导数引起的特征值误差而失效的问题。
• 形式化一种方法，利用Krylov子空间投影误差检测混合系统中的切换事件。
• 设计一种新的可观测变量变换策略，实现在连续时变系统中精确的谱计算。
• 在混合系统与连续时间线性非自治系统上验证所提算法，实现与精确特征值的对比。

提出的方法

• 通过定理1建立Koopman算子族与底层线性非自治系统的基本解矩阵族之间的理论联系。
• 算法1利用移动窗格上的Krylov子空间投影误差检测混合系统中矩阵切换的时间点。
• 在局部数据窗格上应用Arnoldi类方法，误差分析表明投影误差可指示控制矩阵的切换事件。
• 算法2引入形式如(54)的非线性共轭可观测变量，例如 $ u_1 = \frac{x_1 + i x_3}{\text{norm}} $，以分离特征值的实部或虚部。
• 新可观测变量确保双时间窗格包含足够信息以实现精确的Koopman特征值计算，从而绕过常数矩阵假设的局限性。
• 该方法利用Arnoldi类方法在底层矩阵时变时失效的事实，尤其当特征值导数非零时。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准Arnoldi类方法在时变非自治系统中无法准确近似Koopman谱？
• RQ2 如何利用Krylov子空间投影误差检测混合线性非自治系统中的切换事件？
• RQ3 在连续时变系统中，需要何种可观测变量变换才能实现Koopman谱的精确计算？
• RQ4 能否通过数据驱动算法从稀疏时间序列数据中恢复线性非自治系统的精确Koopman特征值与特征函数？
• RQ5 当底层矩阵时变时，Koopman特征值近似中的误差性质是什么？其与系统复杂度的关系如何？

主要发现

• 所提出的算法2通过使用非线性共轭可观测变量，在混合系统与连续时间系统中均实现了对精确Koopman特征值的近乎完美恢复，数值结果中与精确值无可见偏差。
• 标准DMD与Arnoldi类方法在时变系统中产生显著的特征值近似误差，尤其在特征值为纯虚数时实部误差明显，这是由于时间导数非零所致。
• 特征值近似误差与特征值的时间导数成正比，且不随时间步长减小而减小，表明其与时变矩阵存在根本性不兼容。
• 在混合系统中，Krylov子空间投影误差在切换点处增大，从而可检测矩阵转换，构成算法1的基础。
• 使用如 $ u_1 = \frac{x_1 + i x_3}{\text{norm}} $ 的可观测变量成功分离实部与虚部，使仅用最小数据窗格即可实现特征值的精确重构。
• 所有数值算例，包括具有连续频率变化的耦合振子系统，均表明所提算法优于标准方法，结果在数值精度范围内与精确特征值完全一致。