[论文解读] Koopman Operator Spectrum and Data Analysis

Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用 26

一句话总结

本文基于Koopman算子理论，为非线性动力系统开发了一套谱框架，引入广义和开放特征函数，通过零水平集表征稳定流形、不稳定流形和中心流形。该研究利用调制Fock空间建立了具有极限环和环面的系统的谱展开，从而为数据分析提出了一种新的同相稳定集和相干主维度的定义。

ABSTRACT

We examine spectral operator-theoretic properties of linear and nonlinear dynamical systems with globally stable attractors. Using the Kato Decomposition we develop a spectral expansion for general linear autonomous dynamical systems with analytic observables, and define the notion of generalized eigenfunctions of the associated Koopman operator. We interpret stable, unstable and center subspaces in terms of zero level sets of generalized eigenfunctions. We then utilize conjugacy properties of Koopman eigenfunctions and the new notion of open eigenfunctions - defined on subsets of state space - to extend these results to nonlinear dynamical systems with an equilibrium. We provide a characterization of (global) center manifolds, center-stable and center-unstable manifolds in terms of joint zero level sets of families of Koopman operator eigenfunctions associated with the nonlinear system.After defining a new class of Hilbert spaces, that capture the on and off attractor properties of dissipative dynamics, and introduce the concept of Modulated Fock Spaces}, we develop spectral expansions for a class of dynamical systems possessing globally stable limit cycles and limit tori, with observables that are square-integrable in on-attractor variables and analytic in off-attractor variables. We discuss definitions of stable, unstable and global center manifolds in such nonlinear systems with (quasi)-periodic attractors in terms of zero level sets of Koopman operator eigenfunctions. We define the notion of isostables for a general class of nonlinear systems. We provide a simple example of a measure-preserving system that is not chaotic but has continuous spectrum, and discuss experimental observations of spectrum on such systems. We define the coherent principal dimension for a class of datasets based on the lattice-type principal spectrum of the associated Koopman operator.

研究动机与目标

• 通过Koopman算子理论，将谱分解从线性系统扩展到具有全局稳定平衡点的非线性动力系统。
• 通过Koopman特征函数的联合零水平集表征不变流形——中心流形、中心-稳定流形和中心-不稳定流形。
• 定义一类新的希尔伯特空间——调制Fock空间，以捕捉耗散系统中吸引子上与吸引子外的动力学。
• 利用特征函数零水平集，将同相稳定集的概念推广至具有(准)周期性吸引子的非线性系统。
• 基于Koopman算子的格序主谱，引入一种基于数据的相干主维度度量，用于数据分析。

提出的方法

• 应用Kato分解，为具有解析可观测性的线性自治系统推导谱展开。
• 将Koopman算子的广义特征函数引入为线性系统中谱分解的解。
• 在状态空间子集上定义开放特征函数，将谱理论扩展至具有平衡点的非线性系统。
• 利用Koopman特征函数的共轭性质，建立线性与非线性系统动力学之间的关联。
• 构建调制Fock空间，以支持具有全局稳定极限环和环面的系统的谱展开。
• 将同相稳定集定义为Koopman特征函数的水平集，将该概念推广至非线性、(准)周期性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Koopman算子的谱分解从线性系统扩展至具有平衡点的非线性系统？
• RQ2 Koopman特征函数的零水平集在非线性系统中如何表征稳定、不稳定和中心流形？
• RQ3 如何构建希尔伯特空间以编码耗散系统中吸引子上与吸引子外的动力学？
• RQ4 在非混沌、测度保持系统中，连续谱起什么作用？它与可观测动力学有何关联？
• RQ5 如何利用Koopman算子的格序主谱定义数据集的相干主维度？

主要发现

• 通过广义和开放特征函数，将Koopman算子的谱分解扩展至具有平衡点的非线性系统。
• 在线性系统中，稳定、不稳定和中心子空间被解释为广义特征函数的零水平集。
• 在非线性系统中，中心流形、中心-稳定流形和中心-不稳定流形被表征为Koopman特征函数族的联合零水平集。
• 引入调制Fock空间作为一类新的希尔伯特空间，支持具有极限环和环面的系统的谱展开。
• 将同相稳定集定义为一类广义非线性系统的Koopman特征函数的水平集，将该概念推广至非线性或非平衡系统之外。
• 基于Koopman算子主谱的格序结构，定义了一种相干主维度，实现了基于数据的降维。