[论文解读] Koopman Operator Theory for Nonlinear Dynamic Modeling using Dynamic Mode Decomposition

Gregory F. Snyder, Zhuoyuan Song|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文提出结合Koopman算子理论与扩展动态模态分解（EDMD）方法，对非线性动力系统近似构建有限维线性模型，从而在无需局部线性化的情况下实现线性控制设计。该方法通过多项式或傅里叶基函数对状态进行升维，数值仿真结果表明，对于周期性系统，重建保真度有所提升，但对高度耦合的瞬态动力学系统，性能有所下降。

ABSTRACT

The Koopman operator is a linear operator that describes the evolution of scalar observables (i.e., measurement functions of the states) in an infinitedimensional Hilbert space. This operator theoretic point of view lifts the dynamics of a finite-dimensional nonlinear system to an infinite-dimensional function space where the evolution of the original system becomes linear. In this paper, we provide a brief summary of the Koopman operator theorem for nonlinear dynamics modeling and focus on analyzing several data-driven implementations using dynamical mode decomposition (DMD) for autonomous and controlled canonical problems. We apply the extended dynamic mode decomposition (EDMD) to identify the leading Koopman eigenfunctions and approximate a finite-dimensional representation of the discovered linear dynamics. This allows us to apply linear control approaches towards nonlinear systems without linearization approximations around fixed points. We can then examine the fidelity of using a linear controller based on a Koopman operator approximated system on under-actuated systems with basic maneuvers. We demonstrate the effectiveness of this theory through numerical simulation on two classic dynamical systems are used to show DMD methods of evaluating and approximating the Koopman operator and its effectiveness at linearizing these systems.

研究动机与目标

• 开发一种基于Koopman算子框架的数据驱动方法，用于建模非线性动力系统。
• 通过将非线性动力学映射到高维空间，使演化过程近似线性，从而克服局部线性化的局限性。
• 评估EDMD结合不同升维函数（多项式、傅里叶）在重建系统动力学方面的有效性。
• 评估基于Koopman近似的线性控制律在欠驱动系统中的保真度。
• 识别基于Koopman建模在耦合性强、瞬态动力学显著的系统中所面临的具体挑战。

提出的方法

• 使用可观测函数（如多项式或傅里叶基函数）对非线性系统的状态空间进行升维，将动力学嵌入高维函数空间。
• 应用扩展动态模态分解（EDMD）从时间序列数据快照中计算Koopman算子的有限维近似。
• 利用计算得到的Koopman算子在升维空间中通过线性演化重建系统轨迹。
• 通过对比无控制与LQR控制数据的重建精度，评估控制输入对模型保真度的影响。
• 采用多种升维基函数（一阶与二阶多项式、傅里叶基）评估性能，以确定适用于不同系统类型的最优函数集合。
• 对Koopman近似系统应用线性控制技术（如LQR）生成控制律，避免局部线性化。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于EDMD的Koopman算子近似能否有效线性化倒立摆与小车载摆等非线性系统？
• RQ2 升维函数的选择（多项式与傅里叶）如何影响系统动力学的重建精度？
• RQ3 与无控制数据相比，通过DMDc/EDMDc引入控制输入是否能提升基于Koopman的系统重建保真度？
• RQ4 Koopman-based线性模型在复杂耦合系统中，对瞬态与周期性行为的保持程度如何？
• RQ5 当应用于高维、强耦合且非周期性动力学的系统时，Koopman建模方法存在哪些局限性？

主要发现

• 倒立摆系统在使用EDMD结合多项式或傅里叶升维时，重建保真度较高，尤其在控制数据下表现更优。
• 与基础DMD相比，EDMD结合二阶多项式或傅里叶基函数显著提升了重建精度，尤其在周期性行为的捕捉上。
• 小车载摆系统表现出显著的重建误差，尤其在无控制情况下，归因于强耦合的瞬态动力学与更高的自由度。
• 控制的小车载摆数据在重建方面有部分改善，但未达到倒立摆系统中的表现水平。
• 在倒立摆系统中，当傅里叶或多项式基函数阶数超过二阶后，重建精度未见进一步提升。
• 基于LQR的控制输入有助于稳定重建过程，但未能完全捕捉初始瞬态响应，表明需要更平滑的控制输入或更优的基函数选择。