[论文解读] Koopman Theory for Partial Differential Equations

J. Nathan Kutz, Joshua L. Proctor+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 1被引用 14

一句话总结

本文通过展示观测变量的选择在通过动态模式分解（DMD）准确近似科波曼算子过程中的关键作用，将科波曼理论应用于非线性偏微分方程（PDEs）。该方法实现了对布津涅斯克方程和非线性薛定谔方程等PDE中复杂时空动力学的低维、无方程建模，通过精心选择的观测变量，可在弱非线性流形上实现具有物理解释性的类线性动力学。

ABSTRACT

We consider the application of Koopman theory to nonlinear partial differential equations. We demonstrate that the observables chosen for constructing the Koopman operator are critical for enabling an accurate approximation to the nonlinear dynamics. If such observables can be found, then the dynamic mode decomposition algorithm can be enacted to compute a finite-dimensional approximation of the Koopman operator, including its eigenfunctions, eigenvalues and Koopman modes. Judiciously chosen observables lead to physically interpretable spatio-temporal features of the complex system under consideration and provide a connection to manifold learning methods. We demonstrate the impact of observable selection, including kernel methods, and construction of the Koopman operator on two canonical, nonlinear PDEs: Burgers' equation and the nonlinear Schrödinger equation. These examples serve to highlight the most pressing and critical challenge of Koopman theory: a principled way to select appropriate observables.

研究动机与目标

• 将科波曼算子理论扩展至非线性偏微分方程（PDEs），以实现数据驱动建模。
• 识别观测变量选择在实现PDE科波曼算子近似中的关键作用。
• 证明精心选择的观测变量可在线性流形上实现复杂动力学的线性化，从而实现有效的降阶建模。
• 比较基于科波曼的DMD与传统DMD在典型非线性PDE上的性能表现。
• 建立一种系统化的观测变量选择框架，作为PDE系统中非线性流形学习的一种形式。

提出的方法

• 将科波曼算子形式化为作用于连续时间动力系统状态空间上观测函数的无限维线性算子。
• 应用动态模式分解（DMD）从数据中计算科波曼算子的有限维近似，使用所选的观测变量。
• 利用核方法和非线性观测变量，构建能够捕捉嵌入流形上弱非线性动力学的科波曼算子。
• 将科波曼-DMD框架应用于两个典型PDE：布津涅斯克方程和非线性薛定谔方程。
• 利用科波曼理论与DMD之间的联系，实现无方程、数据驱动的时空相干结构发现。
• 通过观测变量变换（如布津涅斯克方程的Cole-Hopf变换）实现动力学线性化，提升近似精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何有效将科波曼算子理论应用于本质上高维且非线性的非线性PDE？
• RQ2 观测变量的选择在基于科波曼的PDE降阶模型的准确性和可解释性中起到何种作用？
• RQ3 与线性观测变量相比，基于核的方法或非线性观测变量能否提升PDE科波曼算子的近似效果？
• RQ4 科波曼-DMD方法在捕捉非线性PDE动力学方面与传统DMD相比表现如何？
• RQ5 是否存在一种系统化的方法，用于选择能够在线性流形上实现动力线性化的观测变量？

主要发现

• 观测变量的选择是实现非线性PDE科波曼算子近似的最关键因素。
• 精心选择的观测变量（如布津涅斯克方程的Cole-Hopf变换所得）可实现动力学线性化，并产生高度准确的科波曼近似。
• 基于核的观测变量即使在缺乏精确解析线性化的情况下，也能有效近似PDE的科波曼算子。
• 科波曼-DMD框架成功捕捉了布津涅斯克方程和非线性薛定谔方程中的时空相干结构。
• 该方法实现了无方程、数据驱动的复杂PDE动力学建模，其特征函数和科波曼模态具有物理解释性。
• 该方法可作为非线性流形学习技术，将PDE动力学嵌入到低维、近似线性的流形上。