[论文解读] Korovkin-type Theorems and Approximation by Positive Linear Operators

Francesco Altomare|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2010

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 79被引用 95

一句话总结

本综述论文为逼近理论中的Korovkin型定理提供了全面且自包含的介绍，聚焦于正线性算子在连续函数空间和L^p空间上收敛于恒等算子的性质。它统一了经典结果，将其扩展至局部紧致空间和加权空间，并通过紧支集条件与模糊收敛性，建立了离散Radon测度的新刻画方式。

ABSTRACT

This survey paper contains a detailed self-contained introduction to Korovkin-type theorems and to some of their applications concerning the approximation of continuous functions as well as of L^p-functions, by means of positive linear operators. The paper also contains several new results and applications. Moreover, the organization of the subject follows a simple and direct approach which quickly leads both to the main results of the theory and to some new ones.

研究动机与目标

• 为逼近理论与泛函分析领域的研究人员提供一个统一且易于理解的Korovkin型定理介绍。
• 将经典的Korovkin定理从单位区间推广至局部紧致空间和加权函数空间。
• 通过支集条件和正测试函数，建立离散Radon测度的新刻画方式。
• 探讨正线性算子在连续函数和L^p函数逼近中的应用。
• 研究正投影在求解Dirichlet型问题中解的逼近性质及其收敛性。

提出的方法

• 从度量空间中的统一结果推导出Korovkin的第一和第二定理，从而实现多维推广。
• 将该理论应用于经典算子，如Bernstein算子、Kantorovich算子、Fejér算子、Szász-Mirakjan算子和Gauss-Weierstrass算子。
• 利用Korovkin集的概念，确定在局部紧致空间和紧致空间上的C_0(X)与C(X)空间中正线性算子的收敛性。
• 通过测试函数在某集合上消失的性质，提出基于支集的Radon测度刻画方法。
• 运用Urysohn引理和紧致性论证，构造在指定点处消失且满足测度零条件的测试函数。
• 从C_0(X)对偶空间中的弱收敛角度，分析Radon测度的模糊收敛性，尤其在可分条件下的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一列正线性算子在C_0(X)或C(X)上强收敛于恒等算子？
• RQ2 在各种函数空间中，如何仅通过有限个测试函数（Korovkin集）来保证正算子的收敛性？
• RQ3 如何通过正连续函数定义的特定子集，刻画离散Radon测度的性质？
• RQ4 C(X)上的正投影如何与Dirichlet问题解的逼近相关联？
• RQ5 在何种情形下，Radon测度的模糊收敛性蕴含弱收敛性？何时有界正测度序列必存在模糊收敛的子列？

主要发现

• Korovkin的第一和第二定理等价于Weierstrass逼近定理的代数版本与三角版本。
• 在C_0(X)上，一列正线性算子强收敛于恒等算子，当且仅当其在分离点且在无穷远处趋于零的Korovkin集上收敛。
• 离散Radon测度的特征是：其积分在与原子不相交的任意紧致集上为零。
• 在空间X中给定有限个点，一个正Radon测度是离散的且恰好支撑于这些点，当且仅当它在所有在这些点处为零而在其他地方为正的连续函数上为零。
• 在具有可数基的局部紧致空间上，正Radon测度空间中的每个有界序列都存在一个子列，模糊收敛于某个极限测度。
• 正Radon测度μ的支集是满足：对所有在Y上消失的f ∈ C_0(X)，都有μ(f) = 0的最小闭集Y。