[论文解读] Koszul complexes and spectra of projective hypersurfaces with isolated singularities

Alexandru Dimca, Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 23

一句话总结

该论文通过引入极点阶谱和Koszul上同调子商的Poincaré系列的交错和，将经典关于非奇异射影超曲面的Hodge理论结果推广到具有孤立奇点的情形。它建立了Milnor代数及其子模的对偶分次模之间的对偶性，并表明极点阶谱序列不必然在 $E_2$ 项退化，且非退化性与Brieskorn模中的挠元有关。

ABSTRACT

For a projective hypersurface $Z$ with isolated singularities, we generalize some well-known assertions in the nonsingular case due to Griffiths, Scherk, Steenbrink, Varchenko, and others about the relations between the Steenbrink spectrum, the Poincar\\'e polynomial of the Jacobian ring, and the roots of Bernstein-Sato polynomial for a defining polynomial $f$ up to sign forgetting the multiplicities. We have to use the pole order spectrum and the alternating sum of the Poincar\\'e series of certain subquotients of the Koszul cohomologies, and study the pole order spectral sequence. We show sufficient conditions for vanishing or non-vanishing of the differential $d_1$ of the spectral sequence, which are useful in many applications. We prove also symmetries of the dimensions of the subquotients of Koszul cohomologies, which are crucial for computing the roots of BS polynomials. We can deduce that the roots of BS polynomial whose absolute values are larger than $n-1-n/d$ are determined by the ``torsion part" of the Jacobian ring (modulo the roots of BS polynomial for $Z$) if all the singularities of $Z$ are weighted homogeneous. Here $d=\\deg f$ and $n$ is the dimension of the ambient affine space.

研究动机与目标

• 将经典关于混合Hodge结构与谱的结果从非奇异情形推广到具有奇点的射影超曲面。
• 在奇异情形下，用极点阶谱和Koszul上同调子商的Poincaré系列的交错和替代Milnor代数和Steenbrink谱。
• 分析极点阶谱序列的行为，该谱序列不必然在 $E_2$ 退化，并将其与Brieskorn模中的挠元联系起来。
• 建立 $M'$、$M''$ 和 $N$ 的对偶分次模之间的对偶同构，推广孤立奇点情形下的自对偶性。
• 研究 $V$-filtration 与 $N_p$ 和 $M''_p$ 上的 $V$-filtration 的相容性，并在加权齐次情形下提出分次 $V$-filtration 的改进公式。

提出的方法

• 引入与齐次多项式 $f$ 关联的平移Koszul复形 ${}^sK^ullet_f$，其上同调模为 $M = H^0({}^sK^ullet_f)$ 和 $N = H^{-1}({}^sK^ullet_f)$。
• 定义 $M' = H^0_{f m}(M)$ 为 $y$-挠子模，其中 $y$ 是与奇点集横截的通用线性形式。
• 利用平移Koszul复形的自对偶性，导出典范同构 $D_i(M') = M'(nd)$，$D_1(M'') = N(nd)$，和 $D_1(N) = M''(nd)$，从而建立分次对偶性。
• 将极点阶谱 $\mathrm{Sp}_P$ 定义为Koszul上同调子商的Poincaré系列的交错和，以替代奇异情形下的Steenbrink谱。
• 分析极点阶谱序列，表明其不必然在 $E_2$ 退化，且非退化性与Brieskorn模中的挠元直接相关。
• 提出关于 $\dim \mathrm{Gr}^\alpha_V N_p$ 和 $\dim \mathrm{Gr}^\alpha_V M''_p$ 的猜想公式，用 $n_{Z,\alpha}$ 和 $n^1_{f,\alpha}$ 表示，并将其与非退化Newton边界情形下的乘子理想和微局部 $V$-filtration 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典结果中Steenbrink谱与Milnor代数Poincaré多项式之间的关系推广至具有孤立奇点的射影超曲面？
• RQ2 在奇异情形下，什么取代了Milnor代数和Steenbrink谱？极点阶谱与Koszul复形上同调之间有何关系？
• RQ3 为何极点阶谱序列在奇异情形下不退化于 $E_2$？Brieskorn模中的挠元起何作用？
• RQ4 是否可通过 $N_p$ 和 $M''_p$ 上的 $V$-filtration 对Gauss-Manin系统上的 $V$-filtration 进行改进？其分次模之间预期的对偶性为何？
• RQ5 公式 $\dim \mathrm{Gr}^\alpha_V N_p = n^1_{f,\alpha+1}$ 在何种条件下成立？其与谱序列非退化性的关系如何？

主要发现

• 极点阶谱 $\mathrm{Sp}_P$ 定义为Koszul上同调子商的Poincaré系列的交错和，在奇异情形下替代了Steenbrink谱。
• 与极点阶滤子相关的谱序列不必然在 $E_2$ 退化，且其非退化性直接与Brieskorn模中挠元的存在相关。
• 对偶同构 $D_0(M') = M'(nd)$，$D_1(M'') = N(nd)$，和 $D_1(N) = M''(nd)$ 推广了孤立奇点情形下Milnor代数的自对偶性。
• $\mu_k'$、$\gamma_k$ 和 $\nu_k$ 满足对称性 $\mu_k' = \mu_{nd-k}'$ 和 $\gamma_k = \gamma_{nd-k}$，反映了分次对偶性。
• 对于 $f = xyz(x+y+z)$，极点阶谱 $\mathrm{Sp}_P$ 为 $1,3,1,1,0,-3,0$，而谱 $\mathrm{Sp}$ 为 $1,3,0,1,0,-3,1$，显示出与经典情形的显著差异。
• 在 $f = x^2y^2 + z^4$ 的情形下，极点阶谱 $\mathrm{Sp}_P$ 为 $1,1,2,1,0,-1,-1$，且谱序列不退化于 $E_2$，其中 $\nu_7 \neq 0$，若 $\mu''_5 < 6$，则与推论 (5.5) 矛盾，故必有 $\mu''_5 = 6$。