[论文解读] Krammer representations for complex braid groups

Iván Marín|ArXiv.org|Nov 20, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文为与有限复反射群相关的复辫群构造了一类广义Krammer表示，基于带形式参数 $h$ 和参数 $m$ 的 $W$-等变可积1-形式的单值性。该表示在类型 ADE 和奇数阶二面体类型 Coxeter 群上被证明是半单且忠实的，其像在 Zariski 拓扑下稠密，且剩余挠性自由，为这些群的线性性提供了强有力证据。

ABSTRACT

Let B be the generalized braid group associated to some finite complex reflection group. We define a representation of B of dimension the number of reflections of the corresponding reflection group, which generalizes the Krammer representation of the classical braid groups, and is thus a good candidate in view of proving the linearity of these groups. We decompose this representation in irreducible components and compute its Zariski closure, as well as its restriction to parabolic subgroups. We prove that it is faithful when W is a Coxeter group of type ADE and odd dihedral types, and conjecture its faithfulness when W has a single class of reflections. If true, this conjecture would imply various group-theoretic properties for these groups, that we prove separately to be true for the other groups.

研究动机与目标

• 为与有限复反射群 $W$ 相关的广义辫群 $B$ 构造一个推广经典 Krammer 表示的表示。
• 证明当 $W$ 为 ADE 型或奇数阶二面体类型的 Coxeter 群时，该表示是忠实的。
• 分析表示的结构，包括不可约分解、Zariski 闭包以及对抛物子群的限制。
• 对所有具有单个反射共轭类的 $W$ 提出忠实性猜想，暗示其强群论性质。
• 证明该表示是半单的，且对所有除有限多个 $m$ 外的 $m$，$R(P)$ 是剩余挠性自由的幂零群。

提出的方法

• 该表示被构造为在反射超平面排列补集上，$W$-等变可积1-形式 $\omega = h\sum t_s \omega_s$ 的单值性。
• 在具有基 $\{v_s \mid s \in \mathcal{R}\}$ 的向量空间 $V$ 上，端点算子 $t_s \in \mathfrak{gl}(V)$ 定义为：$t_s.v_s = m v_s$，且当 $u \neq s$ 时，$t_s.v_u = v_{sus} - \alpha(s,u)v_s$，其中 $\alpha(s,u)$ 表示方程 $ysy = u$ 的解的个数。
• 通过广义 Knizhnik-Zamolodchikov 系统的一般性质，证明 $\omega$ 对所有 $m \in \mathbb{C}$ 可积。
• 证明该单值表示在抛物子群上的限制同构于相应子形式的单值表示，推广了 Coxeter 型 $A$ 的结果。
• 将表示分解为由 $W$ 中反射共轭类索引的不可约分量，每个分量在 $\mathrm{GL}(V_c)$ 中的像均为 Zariski 稠密。
• 显式计算每个不可约分量上厄米形式的判别式，表明其为 $m$ 的有理函数，且已知其极点与零点。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在对有限复反射群相关复辫群的 Krammer 表示的自然推广？
• RQ2 在哪些复反射群上，所构造的表示是忠实的？
• RQ3 从不可约分量及其 Zariski 闭包的角度，单值表示的结构如何？
• RQ4 该表示在限制到抛物子群时表现为何种行为？
• RQ5 从表示结构中可推出哪些群论性质（如剩余挠性自由）？

主要发现

• 对所有 $m \in \mathbb{C}$ 除去有限个例外值外，单值表示 $R$ 是半单的。
• $W$ 中反射共轭类与 $R$ 的不可约分量 $R_c$ 之间存在自然双射，且每个 $R_c(B)$ 在 $\mathrm{GL}(V_c)$ 中均为 Zariski 稠密。
• 纯辫群 $P$ 通过表示 $R(P)$ 作用，该表示是剩余挠性自由的幂零群。
• 对 ADE 型及奇数阶二面体类型的 Coxeter 群，该表示是忠实的。
• 每个不可约分量上厄米形式的判别式为 $m$ 的有理函数，对若干类型（包括 $G_{13}$、$G_{31}$ 和 $G(2e,e,r)$）显式计算，其极点与零点已确定。