[论文解读] Krein resolvent formulas for elliptic boundary problems in nonsmooth domains

Gerd Grubb|ArXiv.org|Oct 15, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用 39

一句话总结

本文通过将 $M$-函数形式化扩展至非光滑拟微分边界算子微分法，首次在 $C^{1,1}$-光滑区域上为二阶强椭圆型算子建立了 Kreĭn 的预解公式，其边界条件为非自伴的。关键结果是 $M$-函数为阶数 $-1$ 的广义拟微分算子，其符号具有 Hölder 光滑性，从而在非光滑情形下实现了对非自伴扩张的完整 Kreĭn 公式。

ABSTRACT

The paper reports on a recent construction of M-functions and Krein resolvent formulas for general closed extensions of an adjoint pair, and their implementation to boundary value problems for second-order strongly elliptic operators on smooth domains. The results are then extended to domains with $C^{1,1}$ Hölder smoothness, by use of a recently developed calculus of pseudodifferential boundary operators with nonsmooth symbols.

研究动机与目标

• 将 $M$-函数与 Kreĭn 预解公式理论推广至非自伴椭圆边界问题在非光滑区域的情形。
• 解决在非自伴与非光滑设定下，特别是 $C^{1,1}$-正则边界时，$M$-函数缺乏系统性框架的问题。
• 应用最近发展的具有非光滑符号的拟微分边界算子微分法，将 $M$-函数构造为广义拟微分算子。
• 在参数椭圆性与 Hölder 正则性假设下，建立在非光滑区域（包括外区域与扰动半空间）中 Kreĭn 预解公式的有效性。

提出的方法

• 利用闭稠定算子 $A_{\min}$, $A'_{\min}$ 的对偶对抽象框架及其扩展 $\widetilde{A} \in \mathcal{M}$，其中 $A_\gamma$ 可逆。
• 应用抽象格林公式，通过定义在核空间 $Z$ 与 $Z'$ 上的算子 $T$，将预解差与 $M$-函数联系起来。
• 采用 Abels [3] 提出的非光滑拟微分边界算子微分法，处理 $C^{1,1}$-正则边界，并将 $M_L(\lambda)$ 定义为广义 $\psi$do。
• 在时间周期延拓 $\widehat{\Omega} = \Omega \times S^1$ 上构造系统 $\mathcal{A}(\lambda) = \begin{pmatrix} A - \lambda \\ \nu_1 - C\gamma_0 \end{pmatrix}$ 的参数解，实现 $\lambda$-依赖分析。
• 利用 $L^\lambda = C - P^{\lambda}_{\gamma_0,\nu_1}$ 在谱射线上的参数椭圆性，确保当 $\lambda$ 足够大时 $L^\lambda$ 可逆，从而得出 $M_L(\lambda) = -(L^\lambda)^{-1}$。
• 应用 Agmon 原理与符号微分法，证明当 $C$ 为具有 $C^{0,1}$-正则性的首阶微分算子时，$M_L(\lambda)$ 是阶数 $-1$ 的广义拟微分算子，且其符号具有 Hölder 光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于强椭圆型算子的非自伴扩张，在 $C^{1,1}$-光滑边界上，$M$-函数能否被定义为广义拟微分算子？
• RQ2 当边界算子具有 Hölder 连续系数时，Kreĭn 预解公式在非光滑区域中是否依然成立？
• RQ3 边界算子 $C$ 及其相关算子 $L^\lambda$ 需满足何种条件，才能保证对大谱参数 $\lambda$，$M$-函数的可逆性与正则性？
• RQ4 非光滑拟微分边界算子微分法如何使 $M$-函数理论得以超越光滑区域的限制？
• RQ5 在非光滑设定下，$M$-函数在多大程度上可表示为一个阶数 $-1$ 的椭圆 $\psi$do 与一个低阶余项之和？

主要发现

• 当边界算子 $C$ 为具有 $C^{0,1}$-正则性的首阶微分算子时，$M_L(\lambda)$ 被证明为阶数 $-1$ 的广义拟微分算子，其符号属于 $C^{0,1}$ 类 Hölder 光滑函数。
• 在谱射线 $\lambda = -\mu^2 e^{i\theta}$ 上，当 $\lambda$ 足够大时，$M_L(\lambda) = -(L^\lambda)^{-1}$ 可表示为一个阶数 $-1$ 的椭圆 $\psi$do 与一个低阶余项之和，从而保证其正则性与可逆性。
• 扩展算子 $\widetilde{A}$ 的定义域满足 $D(\widetilde{A}) \subset H^2(\Omega)$，当 $C^*$ 具有 $C^{0,1}$-正则性时，其共轭算子 $\widetilde{A}^*$ 同样被类似定义。
• 当 $A$ 与 $L$ 为形式自伴时，扩展算子 $\widetilde{A}$ 为自伴算子，从而在 $C^{1,1}$ 域上完整实现了自伴情形下的 Kreĭn 公式。
• 在时间周期域 $\widehat{\Omega}$ 上对 $\mathcal{A}(\lambda)$ 的参数解构造给出了 $O(\langle\mu\rangle^{-\theta})$ 的误差估计，确保 $L^\lambda$ 存在真逆算子，从而 $M_L(\lambda)$ 亦存在真逆。
• 该理论不仅适用于有界区域，也适用于外区域与扰动半空间，从而将 Kreĭn 公式应用的几何范围扩展至更广泛的设定。