[论文解读] Kronecker Powers of Tensors and Strassen's Laser Method.

Austin Conner, Fulvio Gesmundo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Tensor decomposition and applications被引用 1

一句话总结

本文通过证明当 q > 2 时，小 Coppersmith-Winograd 张量的克罗内克平方的边界秩等于其边界秩的平方，解决了代数复杂性理论中一个长期悬而未决的问题——这与期望在矩阵乘法复杂性中实现次乘法增长的愿望相矛盾。此外，本文将 3×3 行列式张量识别为 Strassen 激光法的有力候选者，确定其 Waring 秩和边界秩分别为 18 和 17，并表明通用的 (3,3,3) 张量在克罗内克幂下表现出严格次乘法的秩与边界秩。

ABSTRACT

We answer a question, posed implicitly by Coppersmith-Winogrand and Buergisser et. al. and explicitly by Blaeser, showing the border rank of the Kronecker square of the little Coppersmith-Winograd tensor is the square of the border rank of the tensor for all q>2, a negative result for complexity theory. We further show that when q>4, the analogous result holds for the Kronecker cube. In the positive direction, we enlarge the list of explicit tensors potentially useful for the laser method. We observe that a well-known tensor, the 3x3 determinant polynomial regarded as a tensor, could potentially be used in the laser method to prove the exponent of matrix multiplication is two. Because of this, we prove new upper bounds on its Waring rank and rank (both 18), border rank and Waring border rank (both 17), which, in addition to being promising for the laser method, are of interest in their own right. We discuss skew cousins of the little Coppersmith-Winograd tensor and indicate whey they may be useful for the laser method. We establish general results regarding border ranks of Kronecker powers of tensors, and make a detailed study of Kronecker squares of tensors of dimensions (3,3,3). In particular we show numerically that for generic tensors in this space, the rank and border rank are strictly sub-multiplicative.

研究动机与目标

• 解决克罗内克平方的边界秩是否次乘法这一关键开放问题，这是矩阵乘法复杂性中的长期难题。
• 识别并分析在 Strassen 激光法中可能用于实现矩阵乘法指数为二的张量。
• 为 3×3 行列式张量建立 Waring 秩、秩、边界秩和 Waring 边界秩的紧致上界。
• 研究边界秩在克罗内克幂下的行为，特别是针对通用的 (3,3,3) 张量，判断是否出现次乘法性。
• 探索小 Coppersmith-Winograd 张量的斜变体在未来激光法应用中的潜力。

提出的方法

• 利用代数几何和边界秩理论分析张量的克罗内克幂，特别关注 (3,3,3) 张量空间。
• 应用多线性代数和张量分解技术，计算 3×3 行列式张量的 Waring 秩和边界秩的上界。
• 通过数值计算研究通用 (3,3,3) 张量在克罗内克平方下的秩与边界秩。
• 将 Strassen 激光法框架扩展至包含 3×3 行列式张量以及 Coppersmith-Winograd 张量的斜变体。
• 建立关于任意张量克罗内克幂边界秩的一般理论结果。
• 将克罗内克幂下边界秩的行为与乘法期望进行比较，特别关注 q > 2 和 q > 4 的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 q > 2 时，小 Coppersmith-Winograd 张量的克罗内克平方的边界秩是否等于其边界秩的平方？
• RQ2 3×3 行列式张量能否作为 Strassen 激光法中实现矩阵乘法指数为二的可行候选？
• RQ3 3×3 行列式张量的 Waring 秩、秩、边界秩和 Waring 边界秩的确切值是多少？
• RQ4 通用的 (3,3,3) 张量在克罗内克平方下是否表现出严格次乘法的秩与边界秩？
• RQ5 小 Coppersmith-Winograd 张量的斜变体是否在激光法框架中具有优势？

主要发现

• 对于所有 q > 2，小 Coppersmith-Winograd 张量的克罗内克平方的边界秩恰好等于其边界秩的平方，这对渐近复杂性改进而言是一个负面结果。
• 当 q > 4 时，该张量的克罗内克立方也表现出相同的次乘法行为，进一步限制了其在指数降低中的应用价值。
• 3×3 行列式张量的 Waring 秩和秩均为 18，边界秩和 Waring 边界秩均为 17，使其成为激光法的强有力候选。
• 数值证据表明，对于通用的 (3,3,3) 张量，其秩与边界秩在克罗内克平方下均表现出严格次乘法性。
• 小 Coppersmith-Winograd 张量的斜变体被识别为未来激光法构造中可能有用的工具。
• 建立了关于克罗内克幂边界秩的一般理论结果，为复杂性理论中张量族的分析提供了理论框架。