[论文解读] Krylov Complexity in Open Quantum Systems

Chang Liu, Tang Haifeng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2022

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

该论文通过将Krylov复杂度映射到半无限链上的非厄米紧束缚模型，将Krylov复杂度推广至开放量子系统，其中林德布拉德动力学取代了哈密顿量演化。非厄米项随Krylov基索引线性增长，导致边缘模局域化，从而抑制Krylov复杂度的增长，使其在远小于封闭系统中的有限值处饱和，这是由于耗散引起的衰减所致。

ABSTRACT

Krylov complexity is a novel measure of operator complexity that exhibits universal behavior and bounds a large class of other measures. In this letter, we generalize Krylov complexity from a closed system to an open system coupled to a Markovian bath, where Lindbladian evolution replaces Hamiltonian evolution. We show that Krylov complexity in open systems can be mapped to a non-hermitian tight-binding model in a half-infinite chain. We discuss the properties of the non-hermitian terms and show that the strengths of the non-hermitian terms increase linearly with the increase of the Krylov basis index $n$. Such a non-hermitian tight-binding model can exhibit localized edge modes that determine the long-time behavior of Krylov complexity. Hence, the growth of Krylov complexity is suppressed by dissipation, and at long-time, Krylov complexity saturates at a finite value much smaller than that of a closed system with the same Hamitonian. Our conclusions are supported by numerical results on several models, such as the Sachdev-Ye-Kitaev model and the interacting fermion model. Our work provides insights for discussing complexity, chaos, and holography for open quantum systems.

研究动机与目标

• 将原本定义于封闭量子系统的Krylov复杂度概念，推广至由林德布拉德动力学支配的开放量子系统。
• 理解通过马尔可夫 bath 模型化的耗散如何影响Krylov基中算符复杂度的增长与饱和。
• 建立开放系统中Krylov复杂度与半无限链上非厄米紧束缚模型之间的映射关系。
• 确定非厄米边缘模在决定Krylov复杂度长时间行为中的作用。
• 为研究开放量子系统中的复杂度、混沌与全息理论提供一个框架。

提出的方法

• 利用Krylov基将算符的林德布拉德演化映射为半无限链上的非厄米紧束缚模型。
• 通过参考算符上迭代超算符作用的Gram-Schmidt正交化方法定义Krylov基。
• 使用包含Lanczos系数bₙ和衰减率dₙ的非厄米薛定谔型方程来建模Krylov振幅φₙ(t)的时间演化。
• 假设非厄米项dₙ = β_d + α_d n在线性增长至规模nₛ，超过该尺度后趋于饱和。
• 分析非厄米哈密顿量的谱，识别出具有大虚部的边缘模，这些模主导了长时间动力学。
• 通过SYK模型和相互作用费米子系统等模型的数值模拟，验证分析映射与结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过马尔可夫 bath 引入耗散后，如何改变开放量子系统中Krylov复杂度的增长？
• RQ2 开放系统中的Krylov复杂度能否映射到非厄米紧束缚模型？该映射的物理意义是什么？
• RQ3 非厄米边缘模在决定Krylov复杂度长时间饱和值的过程中起什么作用？
• RQ4 林德布拉德耦合强度如何影响非厄米模型中谱隙的出现？
• RQ5 临界耗散强度γ_c对系统尺寸（以nₛ表征）的依赖关系如何？

主要发现

• 开放系统中的Krylov复杂度因耗散而被抑制，在远小于对应封闭系统中的有限值处饱和。
• Krylov复杂度的长时间行为由非厄米紧束缚模型中的局域边缘模主导，这些模由于非厄米皮肤效应而出现。
• 有效哈密顿量中的非厄米项随Krylov基索引n线性增长，导致高复杂度算符的衰减率逐渐增加。
• 当耗散强度γ > γ_c时，非厄米谱中出现谱隙，谱隙以下的模主导长时间动力学。
• 临界耗散强度γ_c满足γ_c ∼ 1/nₛ^0.85，意味着在热力学极限下（nₛ → ∞）有γ_c → 0，因此边缘模在无限系统中依然存在。
• 在Sachdev-Ye-Kitaev和相互作用费米子模型上的数值结果证实了分析预测的复杂度增长被抑制及饱和。