[论文解读] Kuranishi bordism and Kuranishi homology

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文通过引入带有规范固定数据的Kuranishi空间，定义了orbifolds的Kuranishi同调与上同调理论，证明其分别同构于奇异同调与紧支集上同调。该理论定义了五种新的 bordism 理论，简化了辛几何中虚拟圈的构造，实现了无需扰动或横截性问题的Gopakumar-Vafa不变量的整性结果。

ABSTRACT

A Kuranishi space is a topological space with a Kuranishi structure, defined by Fukaya and Ono. Kuranishi structures occur naturally on moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. Let Y be an orbifold and R a commutative ring or Q-algebra. We define two kinds of Kuranishi homology KH_*(Y;R). The chain complex KC_*(Y;R) defining KH_*(Y;R) is spanned over R by [X,f,G], for X a compact oriented Kuranishi space with corners, f : X --> Y smooth, and G gauge-fixing data which makes Aut(X,f,G) finite. Our main result is that these are isomorphic to singular homology. We define Poincare dual Kuranishi cohomology, isomorphic to compactly-supported cohomology. We define five kinds of Kuranishi (co)bordism spanned by isomorphism classes[X,f] for X a compact oriented Kuranishi space without boundary and f : X --> Y smooth. They are new topological invariants, and we show they are very large. These theories are powerful new tools in symplectic geometry. Defining virtual cycles and chains for moduli spaces of J-holomorphic curves is trivial in Kuranishi (co)homology. There is no need to perturb moduli spaces, and no problems with transversality. This gives major simplifications in Lagrangian Floer cohomology. We define new Gromov-Witten type invariants in Kuranishi bordism, over Z not Q. We sketch how these may be used to prove the integrality conjecture for Gopakumar-Vafa invariants. This paper is surveyed in arXiv:0710.5634.

研究动机与目标

• 通过Kuranishi结构为orbifolds定义新的同调与上同调理论。
• 作为辛模空间不变量，构建Kuranishi bordism理论。
• 消除在定义J-全纯曲线模空间中虚拟圈时对扰动与横截性条件的需求。
• 通过Z上的Kuranishi bordism建立Gopakumar-Vafa不变量的整性。
• 为计算Lagrangian Floer上同调中的不变量提供框架，避免横截性障碍。

提出的方法

• 定义由等价类 [X,f,G] 生成的链复形 KC_*(Y;R)，其中 X 为带角的紧致定向Kuranishi空间，f:X→Y 为光滑映射，G 提供有限自同构群。
• 利用规范固定数据 G 确保自同构群的有限性，从而保证代数结构的良好定义。
• 将Kuranishi同调 KH_*(Y;R) 定义为该链复形在 R 上的同调。
• 定义Poincaré对偶的Kuranishi上同调，其同构于紧支集上同调。
• 通过无边Kuranishi空间的同构类 [X,f] 引入五种不同的Kuranishi bordism理论。
• 将该框架应用于在Z上定义Gromov-Witten型不变量，绕过标准的扰动技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kuranishi结构能否用于定义与经典奇异同调及紧支集同调同构的同调与上同调理论？
• RQ2 Kuranishi bordism理论与辛拓扑中现有bordism不变量相比如何？
• RQ3 能否在不使用扰动或横截性条件的情况下定义J-全纯曲线模空间中的虚拟圈？
• RQ4 能否通过Z上的Kuranishi bordism建立Gopakumar-Vafa不变量的整性？
• RQ5 规范固定数据在稳定Kuranishi空间不变量的自同构群中起什么作用？

主要发现

• Kuranishi同调 KH_*(Y;R) 同构于orbifold Y 的奇异同调。
• Poincaré对偶的Kuranishi上同调同构于Y的紧支集上同调。
• 定义了五种不同的Kuranishi bordism理论，各自捕捉Kuranishi空间结构的不同方面。
• 该理论允许直接定义虚拟圈而无需扰动，简化了辛拓扑中的构造。
• 在Z上定义了新的Gromov-Witten型不变量，为证明Gopakumar-Vafa不变量的整性猜想提供了路径。
• 该框架通过消除横截性问题，显著简化了Lagrangian Floer上同调中的计算。