[论文解读] $L^1$-Stability of Vortex Sheets and Entropy Waves in Steady Compressible Supersonic Euler Flows over Lipschitz Walls

Gui‐Qiang Chen, Vaibhav Kukreja|arXiv (Cornell University)|May 20, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用 3

一句话总结

本论文建立了在 Lipschitz 壁面且具有 $BV$-正则入流的二维定常超音速 Euler 流中，可压缩涡流片与熵波的 $L^1$-稳定性。通过波前追踪与定制的 Lyapunov 泛函，证明了当入流扰动总变差足够小时，解的全局存在性、唯一性及 $L^1$-稳定性。

ABSTRACT

We study the well-posedness of compressible vortex sheets and entropy waves in two-dimensional steady supersonic Euler flows over Lipschitz walls with $BV$ incoming flows. Both the Lipschitz wall of $BV$ tangential angle function and the $BV$ incoming flow perturb a background strong vortex sheet/entropy wave. In particular, when the total variation of the incoming flow perturbation around the background strong vortex sheet/entropy wave is small, we prove that the two-dimensional steady supersonic Euler flows containing a strong vortex sheet/entropy wave past the Lipschitz wall are $L^{1}$--stable. The weak waves are reflected after the nonlinear waves interact with the strong vortex sheet/entropy wave and the wall boundary. Using the wave-front tracking method, the existence of solutions in $BV$ over the Lipschitz walls is first shown, when the total variation of the incoming flow perturbation around the background strong vortex sheet/entropy wave is suitably small. Then we establish the $L^{1}$--stability of the solutions with respect to the incoming flows. To achieve this, a Lyapunov functional, equivalent to the $L^{1}$--distance between two solutions containing the strong vortex sheets/entropy waves, is carefully constructed to include the nonlinear waves generated by both the wall boundary and the incoming flow. This Lyapunov functional is then proved to decrease in the flow direction, leading to the $L^{1}$--stability of the solutions. Furthermore, the uniqueness of these solutions extends to a larger class of viscosity solutions.

研究动机与目标

• 建立在 Lipschitz 壁面且具有 $BV$ 入流的定常超音速 Euler 流中，可压缩涡流片与熵波的适定性。
• 在入流扰动的 $BV$ 范数较小时，证明包含强涡流片或熵波的解的 $L^1$-稳定性。
• 通过波前追踪半群，将熵解的唯一性推广至更广泛的粘性解类。
• 构造一个等价于 $L^1$-距离的 Lyapunov 泛函，其沿流向单调递减，从而确保稳定性。
• 证明波前追踪半群与标准 Riemann 半群一致，从而保证在粘性解类中的唯一性。

提出的方法

• 将二维定常 Euler 系统表述为带有完整热力学关系的双曲守恒律系统。
• 应用波前追踪方法在 $BV$ 空间中构造近似解，确保在入流扰动总变差较小时的收敛性。
• 构造一个 Lyapunov 泛函，同时捕捉解之间的 $L^1$-距离以及由壁面反射和入流扰动生成的非线性波。
• 证明 Lyapunov 泛函沿流向单调递减，从而推出解半群的 $L^1$-稳定性。
• 利用波前追踪格式的收敛性，定义 $L^1$ 中的统一 Lipschitz 半群 $\mathscr{S}$。
• 建立波前追踪半群与标准 Riemann 半群的等价性，从而证明在粘性解类中的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在入流为 $BV$ 正则且壁面为 Lipschitz 的条件下，带有强涡流片或熵波的定常超音速 Euler 流在何种情况下保持 $L^1$-稳定性？
• RQ2 波前追踪方法能否被调整以处理强涡流片/熵波与 Lipschitz 壁面边界之间的非线性波相互作用？
• RQ3 在 $L^1$-稳定性背景下，波前追踪生成的半群是否与标准 Riemann 半群等价？
• RQ4 如何构造一个 Lyapunov 泛函，以同时考虑入流扰动与壁面诱导的非线性波？
• RQ5 在给定条件下，熵解的唯一性是否可推广至更广泛的粘性解类？

主要发现

• 当入流 $BV$ 扰动的总变差足够小时，二维定常超音速 Euler 流中带有强涡流片或熵波的初边值问题的解具有 $L^1$-稳定性。
• 波前追踪算法在 $L^1$ 中产生一个柯西序列，收敛于唯一极限解，该解定义了 $L^1$ 中的统一 Lipschitz 半群 $\mathscr{S}$。
• 构造了一个等价于解之间 $L^1$-距离的 Lyapunov 泛函，其沿流向单调递减，从而证明了 $L^1$-稳定性。
• 由波前追踪生成的半群 $\mathscr{S}$ 与标准 Riemann 半群一致，从而保证了在粘性解类中熵解的唯一性。
• 该解不仅在熵解中唯一，而且在 Bressan 定义的更广泛的粘性解类中也唯一。
• 结果可推广至等熵流与等温流，表明 $L^1$-稳定性框架对具有自由边界双曲系统的鲁棒性。