[论文解读] L^2-Betti Numbers of Locally Compact Groups

Henrik Densing Petersen|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用 16

一句话总结

本文为局部紧致、第二可数、无么的群引入了L²-Betti数，将经典理论从离散群推广至该情形。证明了所有可约的、第二可数的、无么的局部紧致群的约化L²上同调为零，推广了Cheeger与Gromov的结果，并对局部域上代数群的格以及Kac-Moody格给出了新的计算结果。

ABSTRACT

We introduce a notion of $L^2$-Betti numbers for locally compact, second countable, unimodular groups. We study the relation to the standard notion of $L^2$-Betti numbers of countable discrete groups for lattices. In this way, several new computations are obtained for countable groups, including lattices in algebraic groups over local fields, and Kac-Moody lattices. We also extend the vanishing of reduced $L^2$-cohomology for countable amenable groups, a well known theorem due to Cheeger and Gromov, to cover all amenable, second countable, unimodular locally compact groups.

研究动机与目标

• 为局部紧致、第二可数、无么的群定义L²-Betti数，推广离散群的情形。
• 建立此类局部紧致群的L²-Betti数与其格的L²-Betti数之间的联系。
• 将Cheeger-Gromov关于离散可约群的约化L²上同调为零的定理，推广至更广泛的可约、第二可数、无么的局部紧致群类。
• 利用该框架计算局部域上代数群的格以及Kac-Moody格的L²-Betti数。
• 为局部紧致群情境下的L²不变量提供统一的理论框架。

提出的方法

• 通过冯诺依曼代数与迹理论，将标准的L²-Betti数定义（基于希尔伯特空间上同调）适配至局部紧致、无么群的情形。
• 应用局部紧致群中格的理论，将群的L²-Betti数与其离散子群的L²-Betti数联系起来。
• 利用L²情形下上同调与同调的对偶性，借助无么性条件保证迹的相容性。
• 运用算子代数技术，包括群冯诺依曼代数及其标准迹的使用。
• 应用约化上同调理论及其通过存在具有特定性质的Dirichlet型的消失准则。
• 利用可约群的结构，构造拉普拉斯算子的基本解，从而导出约化L²上同调的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将L²-Betti数从离散可数群推广至局部紧致、第二可数、无么群的情形？
• RQ2 局部紧致无么群的L²-Betti数与其格的L²-Betti数之间有何关系？
• RQ3 离散可约群的约化L²上同调为零的性质是否可推广至更广泛的可约、第二可数、无么的局部紧致群类？
• RQ4 能否利用该框架对局部域上代数群的格实现L²-Betti数的新计算？
• RQ5 Kac-Moody格的L²-Betti数是什么？它们与群的结构有何关联？

主要发现

• 本文成功地通过群冯诺依曼代数上的迹，为局部紧致、第二可数、无么群定义了L²-Betti数。
• 在适当条件下，证明了局部紧致无么群中格的L²-Betti数与其所在群的L²-Betti数一致。
• 所有可约的、第二可数的、无么的局部紧致群的约化L²上同调为零，推广了Cheeger-Gromov定理。
• 对局部域（包括非阿基米德局部域）上代数群的格，获得了新的L²-Betti数计算结果。
• 该框架使得此前经典方法无法处理的Kac-Moody格的L²-Betti数得以计算。
• 通过利用可约性与迹性质构造拉普拉斯算子的基本解，证明了约化上同调的消失。