[论文解读] L^2-Betti numbers of locally compact groups and their cross section equivalence relations

David Kyed, Henrik Densing Petersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文证明了，对于一个单模的局部紧第二可数（lcsc）群 $G$，其 $L^2$-Betti 数与 $G$ 在任意本质上自由遍历概率测度保持作用的截面所诱导的可数等价关系的 $L^2$-Betti 数成正比，比例常数等于该截面的余体积。关键结果是 $G$ 的约化与非约化 $L^2$-Betti 数相等，且 $G$ 中格 $Γ$ 的 $L^2$-Betti 数与 $G$ 的 $L^2$-Betti 数成正比，比例常数为 $Γ$ 在 $G$ 中的余体积。该结果推广了离散群的已知结果，并为可约群提供了新的零化定理。

ABSTRACT

We prove that the L^2-Betti numbers of a unimodular locally compact group G coincide, up to a natural scaling constant, with the L^2-Betti numbers of the countable equivalence relation induced on a cross section of any essentially free ergodic probability measure preserving action of G. As a consequence, we obtain that the reduced and un-reduced L^2-Betti numbers of G agree and that the L^2-Betti numbers of a lattice Gamma in G equal those of G up to scaling by the covolume of Gamma in G. We also deduce several vanishing results, including the vanishing of the reduced L^2-cohomology for amenable locally compact groups.

研究动机与目标

• 建立单模局部紧群 $G$ 的 $L^2$-Betti 数与其在本质上自由遍历概率测度保持作用的截面上所诱导的可数等价关系的 $L^2$-Betti 数之间的精确关系。
• 证明 $G$ 的约化与非约化 $L^2$-Betti 数相等，从而解决局部紧群 $L^2$-不变量理论中的一个关键问题。
• 证明 $G$ 中格 $Γ$ 的 $L^2$-Betti 数与 $G$ 的 $L^2$-Betti 数成正比，比例常数为 $Γ$ 在 $G$ 中的余体积。
• 推导出关于 $L^2$-Betti 数与约化上同调的新零化结果，特别是针对可约局部紧群。
• 通过截面技术与冯诺依曼代数上的维数理论，将离散群的已知结果推广至单模 lcsc 群的框架。

提出的方法

• 利用单模 lcsc 群在概率测度空间上自由且遍历作用时存在余紧截面的性质，其基础工作由 Folner 提出，后经他人进一步发展。
• 应用 Lück 的冯诺依曼代数迹上模的维数理论，将 $G$ 的 $L^2$-Betti 数定义为系数取自群冯诺依曼代数 $LG$ 的 $H^n(G, L^2(G))$ 的 Murray-von Neumann 维数。
• 依赖 Gaboriau 关于可数概率测度保持等价关系的 $L^2$-Betti 数理论，定义截面上诱导的等价关系 $Ω$ 的 $\beta^{n}_{(2)}(Ω)$。
• 通过截面的余体积，建立 $\beta^{n}_{(2)}(G)$ 与 $\beta^{n}_{(2)}(Ω)$ 之间的正比关系，利用 $G \times Y \to X$ 是可数对一且满射的性质。
• 使用 Borel 右逆 $x \to (φ(x), π(x))$ 将 $X$ 上的 $G$-不变函数与 $Y$ 上的 $Ω$-不变函数联系起来，从而实现不变量的转移。
• 利用 $G$ 可约当且仅当其关联的等价关系 $Ω$ 可约的性质，通过 $L^∞$-代数上的条件期望建立群与关系不变量之间的关键联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 单模 lcsc 群 $G$ 的 $L^2$-Betti 数是否与其在本质上自由遍历概率测度保持作用的截面上所诱导的可数等价关系的 $L^2$-Betti 数相等？
• RQ2 在局部紧设置下，$G$ 的约化 $L^2$-Betti 数是否等于其非约化版本？
• RQ3 格 $Γ$ 在 $G$ 中的 $L^2$-Betti 数与 $G$ 本身的 $L^2$-Betti 数有何关系？该关系是否满足以 $Γ$ 在 $G$ 中的余体积为比例常数的缩放？
• RQ4 在什么条件下 $G$ 的 $L^2$-Betti 数为零，特别是当 $G$ 可约或包含非紧致可约正规子群时？
• RQ5 能否通过关联的截面等价关系 $Ω$ 的可约性来刻画 $G$ 的可约性？

主要发现

• 单模 lcsc 群 $G$ 的 $L^2$-Betti 数与在截面上诱导的可数概率测度保持等价关系 $Ω$ 的 $L^2$-Betti 数成正比，比例常数为截面的余体积。
• 单模 lcsc 群 $G$ 的约化与非约化 $L^2$-Betti 数相等，解决了局部紧群 $L^2$-不变量理论中的一个核心问题。
• $G$ 中格 $Γ$ 的 $L^2$-Betti 数满足 $β^{n}_{(2)}(Γ) = \frac{\text{covol}(Γ)}{\text{covol}(Γ')} β^{n}_{(2)}(Γ')$，对 $G$ 中任意两个格 $Γ, Γ'$ 成立，推广了离散情形的结果。
• 若 $G$ 具备非紧致可约闭正规子群，则其约化 $L^2$-上同调 $υυ^{n}(G, L^2(G))$ 对所有 $n \neq 0$ 为零，将 Cheeger-Gromov 的结果推广至局部紧设置。
• 对于连通可约群，其一阶约化 $L^2$-上同调为零，通过基于截面等价关系的新直接证明确认了已知结果。
• $G$ 的可约性等价于其关联的截面等价关系 $Ω$ 的可约性，该结论通过 $L^∞$-代数上 $G$-不变均值的存在性与条件期望得以确立。