[论文解读] $L^2$-harmonic $p$-forms on submanifolds with finite total curvature

Jundong Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文针对球面中具有平坦法丛的完备非紧致子流形，建立了两个主要结果：(1) 当总曲率足够小时，$L^2$-调和 $p$-形式的空间消失（$H^p(L^2(M)) = \{0 ight)$；(2) 当总曲率有限时，该空间的维数为有限。证明依赖于索博列夫不等式、$L^2$-估计以及莫泽迭代，以控制调和形式的点态增长。

ABSTRACT

Let $H^p(L^2(M))$ be the space of all $L^2$-harmonic $p$-forms $(2\leq p\leq n-2)$ on complete submanifolds $M$ with flat normal bundle in spheres. In this paper, we first show that $H^p(L^2(M))$ is trivial if the total curvature of $M$ is less than a positive constant depending only on $n$. Second, we show that the dimension of $H^p(L^2(M))$ is finite if the total curvature of $M$ is finite. The vanishing theorem is a generalized version of Gan-Zhu-Fang theorem and the finiteness theorem is an extension of Zhu-Fang theorem.

研究动机与目标

• 将 Gan-Zhu-Fang 关于 $L^2$-调和 2-形式的消失定理推广至 $2 \leq p \leq n-2$ 的 $p$-形式。
• 在相同的总曲率有限条件下，将 Zhu-Fang 关于 1-形式的有限维结果推广至 $p$-形式。
• 为 $L^2$-调和 $p$-形式的消失与有限维性建立仅依赖于维数 $n$ 的精确曲率阈值。
• 分析球面中子流形上总曲率、法丛平坦性与 $L^2$-上同调之间的相互作用。

提出的方法

• 利用适用于球面中子流形的索博列夫不等式（引理 2.1），其中涉及平均曲率 $|H|$ 和度量。
• 应用 $L^2$-估计与博赫纳型恒等式，通过第二基本形式 $\Phi$ 控制调和 $p$-形式的 $L^2$-范数。
• 对 $|\omega|^q$ 使用莫泽迭代，并结合截断函数 $\tau_k$，从 $L^2$-范数导出点态 $L^\infty$ 估计。
• 采用迭代方案，其中 $q_k = \frac{2n^k}{(n-2)^k}$，并使用在收缩球面上具有紧支集的截断函数 $\tau_k$，将 $L^2$-有界性传播至 $L^\infty$ 控制。
• 通过 $L^\infty$-有界性应用体积比较论证，将 $\sup |\omega|^2$ 与固定球面上的 $|\omega|^2$ 积分联系起来。
• 将点态有界性与文献 [25] 中引理 11 的维数估计相结合，得出 $\dim H^p(L^2(M))$ 的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种总曲率条件下，当 $2 \leq p \leq n-2$ 时，$L^2$-调和 $p$-形式的空间 $H^p(L^2(M))$ 消失？
• RQ2 总曲率的有限性是否意味着当 $2 \leq p \leq n-2$ 时，$H^p(L^2(M))$ 的维数为有限？
• RQ3 能否在仅依赖于 $n$ 的曲率阈值下，将 $p=2$ 时的消失结果推广至更高阶的 $p$-形式？
• RQ4 是否存在一个统一的曲率阈值 $c(n)$，使得当 $\|\Phi\|_{L^n(M)} < c(n)$ 时，有 $H^p(L^2(M)) = \{0\}$？
• RQ5 是否 $\dim H^p(L^2(M))$ 的有限性蕴含 $M$ 上仅有有限个非抛物端？

主要发现

• 当总曲率 $\|\Phi\|_{L^n(M)} < c(n)$ 时，空间 $H^p(L^2(M))$ 为平凡（$H^p(L^2(M)) = \{0\}$），其中 $c(n)$ 是仅依赖于 $n$ 的正常数。
• 当 $\|\Phi\|_{L^n(M)} < \infty$ 且 $2 \leq p \leq n-2$ 时，$H^p(L^2(M))$ 的维数为有限。
• 消失定理（定理 1.1）将 Gan-Zhu-Fang 的定理 B 从 $p=2$ 推广至 $2 \leq p \leq n-2$。
• 有限维定理（定理 1.2）将 Zhu-Fang 的定理 A 从 $p=1$ 推广至 $2 \leq p \leq n-2$。
• $L^\infty$-有界性 $\sup_{B_{r_0+1}(x_0)} |\omega|^2 \leq C_6 \int_{B_{r_0+1}(x_0)} |\omega|^2$ 通过莫泽迭代导出，对维数有限性至关重要。
• $H^p(L^2(M))$ 的有限维性由结合 $L^\infty$-有界性与覆盖论证的体积归一化维数估计得出。