[论文解读] $L^2$-index formula for proper cocompact group actions

W Hang|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了在完备黎曼流形 $X$ 上，具有正规、余紧致、等距作用的单群（unimodular locally compact group）$G$ 作用下，$G$-不变的椭圆伪微分算子的 $L^2$-指标公式。通过热核方法与 $K$-理论，证明了 $L^2$-指标等于在切丛上对符号的 $\text{ch}$、曲率的 $\text{ch}$ 与扭的 $\text{ch}$ 乘积的积分，推广了阿蒂yah在非紧致情形下的公式以及康奈斯-莫斯科维茨的公式。

ABSTRACT

We study the index of the $G$-invariant elliptic pseudo-differential operator acting on a complete Riemannian manifold, where a unimodular, locally compact group $G$ acts properly and cocompactly. An $L^2$-index formula was obtained using the heat kernel method.

研究动机与目标

• 将 $L^2$-指标公式推广至 $G$ 在完备黎曼流形 $X$ 上正规、余紧致、等距作用的非紧致群作用情形。
• 通过 $G$-迹与冯·诺依曼代数技术，建立 $G$-不变椭圆算子 $L^2$-指标的拓扑公式。
• 统一并拓展先前结果，包括阿蒂yah对自由余紧致作用的 $L^2$-指标公式，以及康奈斯-莫斯科维茨对单群的齐次空间的公式。
• 阐明当 $X/G$ 为轨道流形时，$L^2$-指标与轨道流形指标之间的区别，特别是前者为有理数而后者为整数值的情形。

提出的方法

• 利用 $L^2(X,E)$ 上的 $G$-迹，将 $L^2$-指标定义为投影到 $\text{Ker}(P_0)$ 与 $\text{Ker}(P_0^*)$ 上的冯·诺依曼迹之差。
• 通过卡斯帕罗夫的 $K$-理论框架，将 $L^2$-指标计算约化为狄拉克型算子，同时保持其在 $K_0(C^*(G))$ 中的高阶指标。
• 应用热核方法计算狄拉克算子的 $L^2$-指标，利用曲率与特征类在群作用下的不变性。
• 通过 $H$-不变分解 $\frak{g} = \frak{h} \times \frak{m}$ 与齐次空间 $G/H$ 上的曲率形式，将 $TX$ 上的积分上拉至 $G \times V$ 上的 $G$-不变形式。
• 利用陈特征与 $\text{ch}(\text{symbol})$ 将指标表达为切空间上的积分，其中 $\text{ch}(\text{curvature})$ 通过表示环 $R(H)$ 与陈- Thom 同构计算。
• 通过证明 $\text{ch}(\text{symbol})_V = \text{ch}(a)$ 与 $\text{ch}(\text{curvature})_V = \text{ch}(\text{在 } V \text{ 上的曲率形式})$，建立一般公式与康奈斯-莫斯科维茨公式的等价性，利用 $\text{ch}$ 与 $\text{ch}(\text{curvature})$ 的拓扑不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 在完备黎曼流形 $X$ 上正规、余紧致、等距作用时，如何从拓扑角度计算 $G$-不变椭圆算子的 $L^2$-指标？
• RQ2 在上述群作用下，$L^2$-指标与 $K_0(C^*(G))$ 中的高阶指标之间存在何种精确关系？
• RQ3 该 $L^2$-指标公式在非紧致情形下如何推广阿蒂yah与康奈斯-莫斯科维茨的结果？
• RQ4 当 $X/G$ 为轨道流形时，为何 $L^2$-指标与轨道流形指标不同？二者在何种条件下重合？
• RQ5 热核方法如何被调整以在类型 II 冯·诺依曼代数与 $G$-不变几何背景下计算 $L^2$-指标？

主要发现

• $L^2$-指标由拓扑公式 $\text{ind}P = \frac{1}{\text{vol}(G)} \times \text{vol}(G) \times \text{int}_{TX} c \text{ch}(\text{symbol}) \text{ch}(\text{curvature}) \text{ch}(\text{twist})$ 给出，其中 $c$ 为 $G$-不变截断函数，满足 $\text{int}_G c(g^{-1}x) dg = 1$。
• 在 $X$ 上的狄拉克型算子 $D$ 的 $L^2$-指标为 $\text{ind}D = \text{int}_{TM} c \text{ch}(\text{symbol}) \text{ch}(\text{curvature}) \text{ch}(\text{twist})$，通过 $G$-不变性约化至 $V$ 上的积分。
• 当 $a$ 为 $V(\text{symbol})|_{V^+}$ 在 Thom 同构 $R(H) \to K_H(V)$ 下的原像时，公式 $\text{ind}D = \text{int}_V \text{ch}(a) \text{ch}(\text{curvature})$ 与康奈斯-莫斯科维茨公式一致，且 $\text{ch}$-类与联络选择无关。
• $\text{ch}(\text{symbol})_V$ 与 $\text{ch}(\text{curvature})_V$ 均为 $H$-不变，且等于表示 $r:H \to \text{GL}(E)$ 的陈特征，表明指标仅依赖于 $H$-表示与曲率。
• $\text{ch}(\text{curvature})$ 类具有拓扑不变性：$\text{ch}(\text{curvature})_V = \text{ch}(\text{在 } V \text{ 上的曲率形式})$，无论使用何种联络，这是由于 $\text{ch}$ 与 $\text{ch}(\text{curvature})$ 的拓扑本质。
• $L^2$-指标一般为有理数，而轨道流形指标为整数值；二者仅在 $X/G$ 为光滑流形时重合，凸显了几何与分析指标理论中的关键差异。