[论文解读] L^2-invariants of locally symmetric spaces

Martin Olbrich|ArXiv.org|Sep 4, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 20

一句话总结

本文利用哈里什-钱德拉的Plancherel定理和$({\mathfrak{g}},K)$-上同调，计算了局部对称空间$Y = \Gamma \backslash X$的$L^2$-不变量——贝蒂数、诺维科夫-舒宾不变量和$L^2$- torsion。关键结果是：当且仅当基本秩$m = 1$时，$L^2$- torsion非零，且通过非紧类型对称空间上拉普拉斯算子的谱分解得出了显式公式。

ABSTRACT

We explain how the Harish-Chandra Plancherel Theorem and results in relative Lie algebra cohomology can be used in order to compute in a uniform way the $L^2$-Betti numbers, the Novikov-Shubin invariants, and the $L^2$-torsion of compact locally symmetric spaces thus completing results previously obtained by Borel, Lott, Mathai, Hess and Schick. It turns out that the behaviour of these invariants is essentially determined by the fundamental rank of the group of isometries of the corresponding globally symmetric space. In particular, we show the nonvanishing of the $L^2$-torsion whenever the fundamental rank is equal to 1.

研究动机与目标

• 计算非紧类型$X = G/K$的局部对称空间$Y = \Gamma \backslash X$的$L^2$-贝蒂数、诺维科夫-舒宾不变量和$L^2$- torsion。
• 通过使用哈里什-钱德拉的Plancherel定理和$({\mathfrak{g}},K)$-上同调，统一并完善先前关于$L^2$-不变量的研究结果。
• 确定这些不变量如何依赖于基本秩$m = \mathrm{rk}_{\mathbb{C}}G - \mathrm{rk}_{\mathbb{C}}K$。
• 为这类空间建立$L^2$-不变量的完整解析分类，特别是证明当$m=1$时$L^2$- torsion非零。

提出的方法

• 利用哈里什-钱德拉Plancherel定理，将非紧类型对称空间$X = G/K$上拉普拉斯算子的$L^2$-谱分解为不可约酉表示。
• 应用$({\mathfrak{g}},K)$-上同调，将拉普拉斯算子的谱数据与离散系列表示的上同调联系起来。
• 通过在基本域上积分，计算热核的$\Gamma$-迹$\mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*}$，将谱数据与$L^2$-不变量联系起来。
• 利用zeta-正则化行列式公式计算$L^2$- torsion：$-\log \det_{\Gamma}(\Delta_p^*) = \frac{d}{ds}\big|_{s=0} \left( \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\varepsilon \mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*} t^{s-1} dt \right) + \int_\varepsilon^\infty \cdots$。
• 通过紧对偶和无穷小特征，将$k_X(t) = \mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*}$的计算约化为对对偶对称空间$X^d = G^d/K$的积分。
• 利用编码离散系列表示Plancherel测度的多项式$p_l(\nu)$，将热核迹表示为$k_X(t) = \sum_l (-1)^{l+1} \int_{{\mathfrak{a}}^*} e^{-t(\|\nu\|^2 + (u-l)^2\|\alpha_0\|^2)} p_l(i\nu) d\nu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部对称空间$Y = \Gamma \backslash X$的$L^2$-贝蒂数在何时为零？
• RQ2 诺维科夫-舒宾不变量对基本秩$m$的精确依赖关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，空间$Y$的$L^2$- torsion非零？
• RQ4 如何利用表示理论和谱理论统一计算$L^2$-不变量？
• RQ5 紧对偶$X^d = G^d/K$在计算$L^2$-不变量中起什么作用？

主要发现

• 当且仅当$m = 0$且$p = n/2$时，$L^2$-贝蒂数$b_p^{(2)}(Y)$非零，且$b_{n/2}^{(2)}(Y) = (-1)^{n/2} \chi(Y) = \frac{\mathrm{vol}(Y)}{\mathrm{vol}(X^d)} \chi(X^d)$。
• 诺维科夫-舒宾不变量$\alpha_p(Y)$为有限值（即非$\infty^+$）当且仅当$m > 0$且$p \in \left[\frac{n-m}{2}, \frac{n+m}{2} - 1\right]$，在此范围内有$\alpha_p(Y) = m$。
• $L^2$- torsion $\rho^{(2)}(Y)$非零当且仅当$m = 1$，且有显式公式$T^{(2)}(X) = (-1)^{(n-1)/2} \chi(X^d_M) \frac{\pi Q_X}{\mathrm{vol}(X^d)}$，其中$Q_X = \sum_{l=0}^{u-1} (-1)^l \int_0^{u-l} p_l(y \cdot \alpha_0) dy$。
• 对于$G = SO(p,q)^0$且$p \leq q$为奇数的情形，有$Q_{X_{p,q}} = Q_{H^{p+q-1}}$，且$Q_{H^{p+q-1}}$为正有理数，确认了当$m=1$时 torsion 非零。
• 对于$X = SL(3,\mathbb{R})/SO(3)$，有$Q_X = \int_0^1 y^2 dy = \frac{1}{3}$，$\chi(X^d_M) = 2$，且$\rho^{(2)}(Y) \neq 0$，验证了$m=1$情形下非零结果。
• $L^2$- torsion在偶维空间$Y$上为零，这与庞加莱对偶性一致，且符合一般公式。