[论文解读] $L^2$ norm error estimates of BDF methods up to fifth-order for the phase field crystal model

Hong-lin Liao, Yuanyuan Kang|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2022

Solidification and crystal growth phenomena被引用 4

一句话总结

本文首次为高阶BDF方法（3–5阶）在相场晶体模型（一种六阶非线性抛物方程）上的应用建立了$L^2$范数误差估计。通过构建新颖的离散梯度结构，并结合正交卷积核与离散能量技术，作者证明了在离散层面的能量耗散，并推导出最优误差界，尽管这些格式不具备A-稳定性。

ABSTRACT

The well-known backward difference formulas (BDF) of the third, the fourth and the fifth orders are investigated for time integration of the phase field crystal model. By building up novel discrete gradient structures of the BDF-$ mk$ ($ mk=3,4,5$) formulas, we establish the energy dissipation laws at the discrete levels and then obtain the priori solution estimates for the associated numerical schemes (however, we can not build any discrete energy dissipation law for the corresponding BDF-6 scheme because the BDF-6 formula itself does not have any discrete gradient structures). With the help of the discrete orthogonal convolution kernels and Young-type convolution inequalities, some concise $L^2$ norm error estimates (with respect to the starting data in the $L^2$ norm) are established via the discrete energy technique. To the best of our knowledge, this is the first time such type $L^2$ norm error estimates of non-A-stable BDF schemes are obtained for nonlinear parabolic equations. Numerical examples are presented to verify and support the theoretical analysis.

研究动机与目标

• 为相场晶体（PFC）模型的长时间模拟开发高阶时间积分格式。
• 为BDF-3、BDF-4和BDF-5方法建立严格的$L^2$范数误差估计，这些方法虽非A-稳定但具有数值耗散性。
• 克服BDF-6缺乏离散能量耗散律的挑战，并阐明更高阶BDF格式的局限性。
• 为在梯度流问题的长时间粗化动力学模拟中使用高阶BDF方法提供理论基础。
• 将离散能量分析技术扩展至具有非A-稳定时间积分器的非线性高阶抛物方程。

提出的方法

• 为BDF-3、BDF-4和BDF-5格式提出新颖的离散梯度结构，以建立离散能量耗散律。
• 利用正交卷积核与Young型卷积不等式，控制时间方向上的误差传播。
• 应用离散能量技术，推导出关于初始数据在$L^2$范数下的$L^2$范数误差估计。
• 构建BDF核的递归函数分解，以证明离散能量泛函的正定性。
• 采用求和-分部恒等式与离散泰勒展开，分析格式的一致性与稳定性。
• 证明BDF-6缺乏离散梯度结构，从而无法导出离散能量耗散律，也使得该框架下的误差分析不可行。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为应用于相场晶体模型的非A-稳定BDF格式（3–5阶）建立$L^2$范数误差估计？
• RQ2 BDF-3、BDF-4和BDF-5格式是否通过新颖的离散梯度结构成功保持了离散能量耗散律？
• RQ3 为何BDF-6格式无法接受离散能量耗散律？其对误差分析有何影响？
• RQ4 正交卷积核与离散能量技术能否有效结合，以推导出非线性抛物方程的最优误差界？
• RQ5 初始数据在$L^2$范数下的作用如何影响高阶BDF格式的收敛速率？

主要发现

• 作者首次为应用于相场晶体模型（一种六阶非线性抛物方程）的BDF-3、BDF-4和BDF-5格式建立了$L^2$范数误差估计。
• 通过新颖的离散梯度结构，成功构建了BDF-3至BDF-5的离散能量耗散律，确保了格式的稳定性和收敛性。
• BDF-6格式缺乏离散梯度结构，导致无法推导离散能量耗散律，因而无法采用该框架进行误差分析。
• 通过正交卷积核与离散能量技术，推导出最优$L^2$误差界，且误差估计依赖于初始数据的$L^2$范数。
• 在BDF-5的能量泛函中明确识别出常数$\sigma_{L5} = \frac{646631}{1920000}$，确保了离散能量泛函的正定性。
• 数值例子验证了理论收敛速率，并证实了所推导误差估计的紧致性。