[论文解读] $L^2$-signatures, homology localization, and amenable groups

Jae Choon, Kent E. Orr|ArXiv.org|Oct 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文通过基于 Cohn 和 Bousfield 群与环局部化的新型局部导出系列，建立了在 Strebel 的类 $D(R)$ 中的可约群下，$L^2$-Betti 数与 $L^2$-符号缺陷在同调 cobordism 下的不变性。关键贡献在于提出了一项新的 $L^2$-维数为零定理，适用于具有 von Neumann 代数系数的同调，该定理推广了此前对多挠射可交换群的结果，并在 3 维及更高维拓扑中开启了新的应用。

ABSTRACT

Aimed at geometric applications, we prove the homology cobordism invariance of the $L^2$-betti numbers and $L^2$-signature defects associated to the class of amenable groups lying in Strebel's class $D(R)$, which includes some interesting infinite/finitenon-torsion-free groups. The proofs include the only prior known condition, that $Γ$ is a poly-torsion-free abelian group (or potentially a finite $p$-group.) We define a new commutator-type series which refines Harvey's torsion-free derived series of groups, using the localizations of groups and rings of Bousfield, Vogel, and Cohn. The series, called the local derived series, has versions for homology with arbitrary coefficients, and satisfies functoriality and an injectivity theorem. We combine these two new tools to give some applications to distinct homology cobordism types within the same simple homotopy type in higher dimensions, to concordance of knots in three manifolds, and to spherical space forms in dimension three.

研究动机与目标

• 将 $L^2$-符号与 $L^2$-Betti 数在同调 cobordism 下的不变性，从多挠射可交换群推广至更广泛的群类。
• 解决群环 $\mathbb{Z}\Gamma$ 无法嵌入斜域的情形，克服先前方法的局限性。
• 定义一种新型的换位子型系列——Vogel-Cohn $R$-局部导出系列，利用 Cohn 与 Bousfield 局部化，对 Harvey 的无挠射导出系列进行细化。
• 证明在 $R$-同调平凡条件下，具有 $\mathcal{N}\Gamma$-系数的同调满足 $L^2$-维数为零的定理，从而支持新的拓扑应用。
• 将这些工具应用于区分同一简单同伦类型内的同调 cobordism 类型，并研究纽结与空间形式的同痕性。

提出的方法

• 通过 Cohn 环与模的局部化引入 Vogel-Cohn $R$-局部导出系列，提供导出系列的函子性且可计算的细化。
• 定义基于 Bousfield 局部化的导出系列变体，将框架扩展至多种局部化类型。
• 利用 Lück 的 $L^2$-维数为零模的定理，证明若 $H_*(C_* \otimes_{\mathbb{Z}\Gamma} R) = 0$，则对属于 $D(R)$ 的可约群 $\Gamma$，有 $H_*(C_* \otimes_{\mathbb{Z}\Gamma} \mathcal{N}\Gamma)$ 的 $L^2$-维数为零。
• 建立类似于 Cochran-Harvey 结果的 Stallings 型单射定理，但使用局部化而非 Ore 局部化。
• 将 $L^2$-维数为零的结果应用于证明：当 $\pi_1(W)$ 映射至 $D(R)$ 中的可约群时，$R$-同调 cobordant 的流形 $M$ 与 $M'$ 的 $L^2$-符号缺陷不变。
• 利用新系列检测同一简单同伦类型中具有非平凡同调 cobordism 类型的流形，特别是在具有挠射基本群的流形中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多挠射可交换群之外的更广群类中，证明 $L^2$-符号在 $R$-同调 cobordism 下的不变性？
• RQ2 群 $\Gamma$ 需满足何种条件，才能保证当 $R$-同调为零时，具有 $\mathcal{N}\Gamma$-系数的 $L^2$-同调具有 $L^2$-维数为零？
• RQ3 如何利用局部化技术构造导出系列，以细化无挠射导出系列并探测更精细的代数结构？
• RQ4 新局部导出系列能否在更高维中检测同一简单同伦类型内的不同同调 cobordism 类型？
• RQ5 在局部导出系列的商群中，若挠射元素仍保持非平凡，会引发何种拓扑后果？

主要发现

• 当 $\pi_1(W)$ 映射至 $D(R)$ 中的可约群时，$R$-同调 cobordant 的流形 $M$ 与 $M'$ 的 $L^2$-符号缺陷 $\rho(M, \phi)$ 与 $\rho(M', \phi')$ 相等。
• 若 $C_*$ 是 $\mathbb{Z}\Gamma$ 上的有限生成自由链复形，且 $H_*(C_* \otimes_{\mathbb{Z}\Gamma} R) = 0$，则对属于 $D(R)$ 的可约群 $\Gamma$，有 $H_*(C_* \otimes_{\mathbb{Z}\Gamma} \mathcal{N}\Gamma)$ 的 $L^2$-维数为零。
• Vogel-Cohn $R$-局部导出系列具有函子性，并满足 Stallings 型单射定理，从而可检测商群中的非平凡元素。
• 对闭的 $(4k-1)$-维流形 $M$，若其基本群 $\pi$ 中的挠射元素在 $\mathbb{Z}_p$ 或 $\mathbb{Z}_{(p)}$-系数局部导出系列的商群 $\pi / \pi^{(n)}$ 中仍保持非平凡，则存在无穷多个两两不同构的同调 cobordism 类型的流形，其与 $M$ 同伦等价且在切丛上等价。
• 新局部导出系列严格优于 Harvey 的无挠射导出系列，且通过 Cohn 与 Bousfield 局部化，提供一种可计算的、基于局部化的细化。
• 结果涵盖了先前多挠射可交换群的情形，并将 $L^2$-符号不变性推广至无限及有限非无挠射群，包括 $p$-群与 $\mathbb{Z}_p$-局部化群。