[论文解读] $L^2$-Theory of Linear Degenerate SPDEs and $L^p$ ($p>0$) Estimates for the Uniform Norm of Weak Solutions

Jinniao Qiu|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文为线性退化随机偏微分方程（SPDEs）建立了$L^2$-理论，并利用随机De Giorgi迭代方法证明了弱解的联合范数的$L^p$（$p>0$）估计。关键贡献在于提出了一种无需依赖超抛物条件的最大值原理，将先前结果推广至具有广义系数可积性的无界区域中的退化SPDEs。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with possibly degenerate stochastic partial differential equations (SPDEs). An $L^2$-theory is introduced, from which we derive the Hörmander theorem with an analytical approach. With the method of De Giorgi iteration, we obtain the maximum principle which states the $L^p$ ($p>0$) estimates for the time-space uniform norm of weak solutions.

研究动机与目标

• 为不依赖超抛物条件的线性、可能退化的SPDEs发展$L^2$-理论。
• 通过分析方法和先验估计，推导出Hörmander型的超椭圆性定理。
• 为退化SPDEs的弱解证明最大值原理，提供时间-空间联合范数的$L^p$（$p>0$）界。
• 将现有SPDEs的$L^p$-估计从有界区域和$p \geq 2$推广至无界区域和所有$p>0$。
• 在系数的最小正则性假设下，建立解的上确界范数的统一可积性。

提出的方法

• 通过构造逼近的超抛物方程并应用伪微分算子技术，为退化SPDEs发展$L^2$-理论。
• 利用先验估计和适应于随机情形的De Giorgi迭代方法，控制解的正部的增长。
• 应用Burkholder-Davis-Gundy不等式处理能量估计中出现的随机积分项。
• 采用停止时间方法，选取小时间区间$\tau = T \wedge (1/(4C))^{2/q}$以局部化估计并控制鞅项。
• 运用截断函数和尺度变换方法，将局部De Giorgi迭代推广至全局的$L^p$界，覆盖解的联合范数。
• 通过结合能量估计、随机积分界和指数矩控制的尾概率，推导出最大值原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设超抛物条件的前提下，为线性退化SPDEs建立$L^2$-理论？
• RQ2 是否能通过分析方法而非概率耦合，证明退化SPDEs的Hörmander型超椭圆性定理？
• RQ3 能否在无界区域中，不依赖于$p \geq 2$，为弱解的时间-空间联合范数建立$L^p$（$p>0$）估计？
• RQ4 De Giorgi迭代方法是否适用于具有退化扩散和非光滑系数的随机PDEs？
• RQ5 能否在系数和数据的最小可积性与正则性假设下，证明弱解的最大值原理？

主要发现

• 论文为线性退化SPDEs建立了$L^2$-理论，证明在$f,g,h$具有$H^m$正则性时，有$L_k u \in L^2(\Omega \times [0,T]; H^m)$。
• 在Hörmander型条件下，解满足$u \in L^2(\Omega \times [0,T]; H^{m+\eta})$，其中$\eta \in (0,1]$。
• 最大值原理给出$E\|u^\mp\|_{L^\infty(Q)}^p \leq C \Xi(\underline{u}_0^\mp, f^\mp, g, h)$对所有$p > 0$成立，其中$C$依赖于$d,p,T$及系数。
• 该估计无需超抛物性条件，相较于以往仅限于$p \geq 2$和有界区域的工作，这是关键创新。
• 证明依赖于随机De Giorgi迭代的版本，避免使用Moser方法，从而实现在无界区域中对$p>0$的估计。
• 该方法对系数正则性要求较弱，通过标准乘子理论可放宽对光滑系数的假设。