[论文解读] $L^2$-topology and Lagrangians in the space of connections over a Riemann surface

Tomasz Mrowka, Katrin Wehrheim|arXiv (Cornell University)|May 5, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过定量的 $L^2$-局部截面定理，建立了黎曼曲面上配备 $L^2$-拓扑的联络空间中规范丛的统一局部拟凸性与局部路径连通性。关键贡献在于对规范丛中路径长度的统一有界性，这对于在具有拉格朗日子流形边界条件的杨-米尔斯弗洛尔理论中证明紧致性至关重要。

ABSTRACT

We examine the $L^2$-topology of the gauge orbits over a closed Riemann surface. We prove a subtle local slice theorem based on the div-curl Lemma of harmonic analysis, and deduce local pathwise connectedness and local uniform quasiconvexity of the gauge orbits. Using these, we generalize compactness results for anti-self-dual instantons with Lagrangian boundary counditions to general gauge invariant Lagrangian submanifolds. This provides the foundation for the construction of instanton Floer homology for pairs of a $3$-manifold with boundary and a Lagrangian in the configuration space over the boundary.

研究动机与目标

• 理解黎曼曲面上联络空间的 $L^2$-拓扑及其在规范群作用下的商空间。
• 在 $p>2$ 的 $L^p$-正则性联络下，建立 $L^2$-拓扑中规范丛的局部连通性与统一局部拟凸性。
• 对联络空间中规范不变拉格朗日子流形提供几何控制，这对三维流形边界上杨-米尔斯弗洛尔理论至关重要。
• 将具有拉格朗日子流形边界条件的反自对偶瞬子的紧致性结果，从如手柄体边界等特殊情形推广至一般情形。
• 为未来利用曲率估计与拟凸性证明规范不变拉格朗日子流形的局部凸性，奠定定量基础。

提出的方法

• 使用定量的 $L^2$-局部截面定理，分析 $p>2$ 的 $L^p$-联络空间中规范丛的几何结构。
• 将 $L^2$-拓扑应用于联络空间 $\mathcal{A}^{0,p}(\Sigma)$，并研究规范群 $\mathcal{G}^{1,p}(\Sigma)$ 的作用。
• 通过在 $L^2$-球内构造连接邻近点的连续路径，建立局部路径连通性。
• 对这类路径的导数的 $L^2$-范数施加统一有界性，确保以依赖于轨道的常数 $C$ 实现拟凸性。
• 利用局部陈-西蒙斯泛函与能量估计，控制在可约联络附近瞬子的行为。
• 应用积分与衰减估计，表明能量 $\mathcal{E}(r)$ 随 $r$ 以 $r^{2\beta}$ 速率衰减，其中 $\beta>0$ 依赖于拉格朗日几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼曲面上 $L^p$-联络空间中，规范丛在 $L^2$-拓扑下是否可实现局部路径连通性？
• RQ2 是否存在统一常数 $C$，使得在规范丛的某个足够小的 $L^2$-球内，任意两点均可通过一条 $L^2$-长度有界于 $C$ 倍其距离的路径连接？
• RQ3 规范丛的局部拟凸性是否可用于证明具有广义规范不变拉格朗日子流形边界条件的反自对偶瞬子模空间的紧致性？
• RQ4 瞬子在可约联络附近的能量 $\mathcal{E}(r)$ 的衰减速率如何？其与曲率估计之间有何关系？
• RQ5 在拉格朗日子流形中沿短路径，局部陈-西蒙斯泛函是否保持良好定义且连续，从而实现能量控制？

主要发现

• 规范丛 $\mathcal{G}^{1,p}(\Sigma)^*B$ 在 $L^2$-拓扑下是局部路径连通的：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得任意两点在 $L^2$-距离 $\delta$ 内时，可被一条位于半径为 $\varepsilon$ 的 $L^2$-球内的连续路径连接。
• 该连接路径可选取为映射到 $\mathcal{A}^{0,p}(\Sigma)$ 的光滑映射，且满足 $\|\partial_t A_t\|_{L^2} \leq C\|A_1 - A_0\|_{L^2}$，其中常数 $C$ 依赖于轨道 $[B]$。
• 对不可约联络，可在轨道的 $L^p$-有界子集上统一选取拟凸性估计中的常数 $C$。
• 在可约联络附近的瞬子能量满足 $\mathcal{E}(r) \leq C r^{2\beta}$，其中 $\beta = \pi^{-1}(1 + \pi C_{\mathcal{L}})^{-2} > 0$。
• 局部陈-西蒙斯泛函 $\mathcal{C}\mathcal{S}(A(r,\cdot))$ 满足 $\frac{\pi(1 + \pi C_{\mathcal{L}})^2}{4} \int_0^\pi r^2 \|F_\Xi(r,\phi)\|_{L^2}^2 d\phi$ 的上界，且当 $r \to 0$ 时趋于零。
• 延拓瞬子 $\tilde{\Xi}$ 的能量表达为 $\mathcal{E}(\rho) = -\mathcal{C}\mathcal{S}(A(\rho,\cdot)) + \mathcal{C}\mathcal{S}(A(\delta,\cdot))$，从而可通过陈-西蒙斯泛函实现能量控制。