[论文解读] $L^2$-type contraction for shocks of scalar viscous conservation laws with strictly convex flux

Moon-Jin Kang|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文通过加权相对熵框架，建立了在严格凸通量的标量守恒律中，针对粘性激波波前的大扰动的 $L^2$-型收缩。通过构造一个合适的严格凸熵函数并应用平移不变收缩估计，作者证明了在一般严格凸通量下小振幅激波的稳定性，扩展了以往仅限于Burgers型通量的结果，并解决了粘性守恒律相对熵方法中的一个关键空白。

ABSTRACT

We study the $L^2$-type contraction property of large perturbations around shock waves of scalar viscous conservation laws with strictly convex fluxes in one space dimension. The contraction holds up to a shift, and it is measured by a weighted related entropy, for which we choose an appropriate entropy associated with the strictly convex flux. In particular, we handle shocks with small amplitude. This result improves the recent article [18] of the author and Vasseur on $L^2$-contraction property of shocks to scalar viscous conservation laws with a special flux, that is almost the Burgers flux.

研究动机与目标

• 在一般严格凸通量的标量守恒律中，建立围绕粘性激波波前的大扰动的 $L^2$-型收缩。
• 克服先前结果仅适用于接近Burgers通量（二次通量加小扰动）的局限性。
• 通过使用单一、精心选择的熵函数而非Kruzkov的 $L^1$ 理论中使用的熵族，发展一个稳健的收缩框架。
• 通过与通量凸性相适应的权函数，证明在相对熵方法下小振幅激波的稳定性。
• 通过引入与通量相关的熵函数和权函数，将[18]中的收缩结果推广至所有严格凸通量。

提出的方法

• 构造与通量 $f(u)$ 相关的严格凸熵 $\theta(u)$，确保 $\theta''(u) \to \text{const} > 0$ 一致成立。
• 基于激波轮廓 $S(x - \bar{\rho}t)$ 和导数 $\theta'(u)$ 构造权函数 $\rho(x,t)$，以将相对熵局部化在激波附近。
• 在相对熵方法中使用熵 $\theta$ 来度量解与激波之间的 $L^2$-型距离，而非直接使用 $L^2$-范数。
• 引入平移函数 $\bar{\rho}(t)$ 以对齐扰动解与激波轮廓，从而最小化加权相对熵。
• 采用截断技术控制 $|\theta'(u) - \theta'(S)|$ 的大值，实现在能量-耗散平衡中的统一估计。
• 推导加权相对熵的微分不等式，表明在通量的严格凸性和小振幅假设下，其随时间衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在一般严格凸通量（而不仅限于近似Burgers通量）的标量守恒律中，为粘性激波波前建立 $L^2$-型收缩？
• RQ2 是否能够仅使用单一熵函数而非熵族，实现 $L^2$-型稳定性下的收缩？
• RQ3 如何调整相对熵方法以处理一般严格凸通量下小振幅激波的大幅扰动？
• RQ4 熵的选择在确保收缩估计在不同通量函数下保持一致方面起什么作用？
• RQ5 是否可以通过与通量自适应的权函数构建加权相对熵框架，稳定粘性激波的 $L^2$-型收缩？

主要发现

• 本文证明了在任意严格凸通量的标量守恒律中，小振幅粘性激波周围的大扰动存在 $L^2$-型收缩。
• 收缩结果在时间依赖的平移 $\bar{\rho}(t)$ 下成立，该平移将扰动解与激波轮廓对齐。
• 收缩通过使用与通量 $f(u)$ 相关的严格凸熵 $\theta(u)$ 定义的加权相对熵来度量，确保局部二次行为。
• 该方法避免了Kruzkov的 $L^1$ 理论中所需的多个熵函数，转而使用一个与通量自适应的熵函数，实现 $L^2$-型稳定性。
• 关键估计为一个微分不等式，表明加权相对熵随时间衰减，且衰减速率受通量的严格凸性和激波小振幅的控制。
• 该结果推广并改进了[18]，后者仅适用于接近Burgers通量的通量；通过引入新的熵-加权策略，将 $L^2$-收缩推广至所有严格凸通量。