[论文解读] L-algebras, triplicial-algebras, within an equivalence of categories motivated by graphs

Philippe Leroux|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文引入L-代数作为L-余代数的对偶，通过类Cartier-Milnor-Moore型结构定理，建立了L-代数与连通共结合三重代数-双代数之间的范畴等价。证明了L-Operad是Koszul的，并表明自由L-代数由具有奇数个节点的根平面对称三元树实现，而自由三重代数则对应于偶数节点的树，三元组(As, Trip, L)构成一个良好的三元组。

ABSTRACT

In a previous work, we gave a coalgebraic framework of directed graphs equipped with weights (or probability vectors) in terms of (Markov) L-coalgebras. They are K-vector spaces equipped with two co-operations, Δ_M, ildeΔ_M verifying, ( ildeΔ_M \otimes id)Δ_M =(id \otimes Δ_M) ildeΔ_M. In this paper, we study the category of L-algebras (dual of L-coalgebras), prove that the free L-algebra on one generator is constructed over rooted planar symmetric ternary trees with odd numbers of nodes and the L-operad is Koszul. We then introduce triplicial-algebras: vector spaces equipped with three associative operations verifying three entanglement relations. The free triplicial-algebra is computed and turns out to be related to even trees. Via a general structure theorem (à la Cartier-Milnor-Moore), we obtain that the category of L-algebras is equivalent to a much more structured category called connected coassociative triplicial-bialgebras (coproduct linked to operations via infinitesimal relations), that is the triple of operads (As, Trip, L) is good. Bidirected graphs, related to NAP-algebras, are briefly evoked and postponed to another paper.

研究动机与目标

• 通过广义结构定理建立L-代数与连通共结合三重代数-双代数之间的范畴等价。
• 将向量空间上的自由L-代数表征为由具有奇数个节点的根平面对称三元树生成的代数。
• 定义并研究三重代数作为带有三个结合运算且满足纠缠关系的向量空间。
• 证明L-Operad是Koszul的，为OEIS中的序列A006013提供代数解释。
• 证明三元组(As, Trip, L)构成一个良好三元组，从而实现范畴之间的等价。

提出的方法

• 通过对先前工作中L-余代数框架的对偶化，本文构造了L-代数作为对偶范畴。
• 向量空间V上的自由L-代数被实现为由奇数个节点构成的根平面对称三元树张成的K-向量空间。
• 本文引入三重代数作为带有三个结合运算且满足三个纠缠关系的代数。
• 为具有通过无穷小关系连接的共结合余积的磁性Operad，发展了广义的类Cartier-Milnor-Moore型结构定理。
• 通过(As, Trip, L)的良好数条件，证明了L-代数与连通共结合三重代数-双代数之间的等价性。
• 展示了L-Operad及其对偶的生成函数互为复合逆，从而确认了Koszul对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造L-余代数框架的对偶，以得到L-代数的范畴？
• RQ2 自由L-代数的组合结构是什么？它与根平面对称三元树有何关系？
• RQ3 三重代数的定义公理和性质是什么？它们与L-代数结构有何关联？
• RQ4 三元组(As, Trip, L)是否满足良好三元组的条件，从而实现范畴等价？
• RQ5 能否证明L-Operad是Koszul的？这对Operad及其对偶的生成函数意味着什么？

主要发现

• 向量空间V上的自由L-代数同构于由奇数个节点构成的根平面对称三元树张成的K-向量空间。
• 向量空间V上的自由三重代数同构于由偶数节点树张成的K-向量空间，从而为自由对象提供了组合实现。
• 证明了L-Operad是Koszul的，其生成函数与对偶的生成函数互为复合逆。
• 三元组(As, Trip, L)构成一个良好三元组，建立了L-代数范畴与连通共结合三重代数-双代数范畴之间的范畴等价。
• L-代数上不存在不变的反对称双线性映射，因为所需的三阶自同构在二元运算上无法实现。
• Operad UAs的生成函数为fUAs(x) = 1/(1−x)，该函数用于建立自由代数构造中的对偶性。