[论文解读] $L$-complete Hopf algebroids and their comodules

Andrew Baker|ArXiv.org|Jan 11, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入了在交换诺特正则完备局部环上的 $L$-完备霍普夫胚胎，聚焦于代数拓扑中的其余模。研究证明，$L$-完备霍普夫胚胎上的有限生成余模——特别是与卢比尼-塔特谱相关的余模——具有兰德韦伯滤子，并引入了幂零霍普夫胚胎的概念，以推广霍普夫代数的经典结果。

ABSTRACT

We investigate Hopf algebroids in the category of $L$-complete modules over a commutative Noetherian regular complete local ring. The main examples are provided by the Hopf algebroids associated to Lubin-Tate spectra in the K(n)-local stable homotopy category and we show that these have Landweber filtrations for all finitely generated discrete modules. Along the way we investigate the canonical Hopf algebras associated to Hopf algebroids over fields and introduce a notion of unipotent Hopf algebroid generalising that for Hopf algebras. In two appendices we continue the discussion of the connections with twisted group rings, and expand on a result of Hovey on the non-exactness of coproducts of L-complete modules.

研究动机与目标

• 在交换诺特正则完备局部环的范畴中发展 $L$-完备模的霍普夫胚胎理论。
• 理解 $L$-完备霍普夫胚胎上余模的结构，特别是在 $K(n)$-局部稳定同伦理论的背景下。
• 将幂零霍普夫代数的概念推广至霍普夫胚胎，并研究其表示理论。
• 验证卢比尼-塔特谱 $E$ 的霍普夫胚胎 $E^\nu_*E$ 对于有限生成余模具有兰德韦伯滤子。
• 澄清 $L$-完备模与其他同伦理论中的完备化理论之间的区别，特别是与格林利斯-梅及霍夫西-斯特里克兰德工作的关系。

提出的方法

• 将 $L$-完备模的概念——通过 $\frak{m}$-adic 完备化的导出函子定义——适应至交换诺特正则完备局部环 $R$ 上的模范畴。
• 将 $L$-完备霍普夫胚胎定义为 $L$-完备 $R$-模范畴中的霍普夫胚胎，特别关注与卢比尼-塔特谱相关的霍普夫胚胎 $E^\nu_*E$。
• 在域上定义幂零霍普夫胚胎作为幂零霍普夫代数的推广，使用其关联霍普夫代数的构造。
• 将兰德韦伯滤子定理应用于 $L$-完备霍普夫胚胎上的有限生成离散余模，证明存在每个商模被极大理想某次幂消去的合成列。
• 使用柯尔祖尔解析和 $\text{Tor}$-计算分析导出函子 $L_s$，并证明 $L_1$ 在某些模上非零。
• 采用逆极限技巧和包含 $\text{lim}^1$ 与 $\text{lim}$ 的正合序列中的图表追踪，证明 $L_0$ 在 $L$-完备模的无限和上不保持单射。

实验结果

研究问题

• RQ1 $L$-完备霍普夫胚胎上的有限生成余模是否具有每个商模被极大理想某次幂消去的合成列？
• RQ2 幂零霍普夫胚胎的概念如何推广经典幂零霍普夫代数理论？
• RQ3 霍普夫胚胎上的余模与它的关联霍普夫代数上的余模之间有何关系？
• RQ4 $L_0$-函子在 $L$-完备模的无限和上是否正合？这对 $L$-完备模范畴有何影响？
• RQ5 在 $K(n)$-局部范畴中与卢比尼-塔特谱相关的霍普夫胚胎是否满足兰德韦伯滤子性质？

主要发现

• $L$-完备霍普夫胚胎上的有限生成余模具有合成列，其中每个商模被极大理想某次幂消去。
• 若霍普夫胚胎在域上的关联霍普夫代数是幂零的，则该霍普夫胚胎本身也是幂零的。
• 卢比尼-塔特谱 $E$ 的霍普夫胚胎 $E^\nu_*E$ 对所有有限生成离散余模具有兰德韦伯滤子。
• 自然映射 $L_0(\bigoplus_k N) \to L_0(\bigoplus_k M)$ 不是单射，表明 $L_0$ 在 $L$-完备模的无限和上不保持左正合。
• $L_1(\bigoplus_k M/N)$ 对某些 $L$-完备模 $M/N$ 非零，表明即使 $L_0$ 正合，$L_1$ 也不一定为零。
• 对于 $p,u$ 作用正则的模，所有 $s > 0$ 有 $L_s(M) = 0$，表明此类模是 $L$-完备且其高阶导出函子平凡。