[论文解读] L-convexity on graph structures

Hiroshi Hirai|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文引入了定向模图上的L-凸函数与模半格上的子模函数，将离散凸分析从整数格Z^n推广至图结构。它建立了Lovász扩展框架，证明了最速下降算法的紧致迭代次数界，并通过与CAT(0)空间和欧几里得建筑物的联系，展示了其在多商品流与多路切割问题中的应用。

ABSTRACT

In this paper, we study classes of discrete convex functions: submodular functions on modular semilattices and L-convex functions on oriented modular graphs. They were introduced by the author in complexity classification of minimum 0-extension problems. We clarify the relationship to other discrete convex functions, such as $k$-submodular functions, skew-bisubmodular functions, L$^ atural$-convex functions, tree submodular functions, and UJ-convex functions. We show that they are actually viewed as submodular/L-convex functions in our sense. We also prove a sharp iteration bound of the steepest descent algorithm for minimizing our L-convex functions. The underlying structures, modular semilattices and oriented modular graphs, have rich connections to projective and polar spaces, Euclidean building, and metric spaces of global nonpositive curvature (CAT(0) spaces). By utilizing these connections, we formulate an analogue of the Lovász extension, introduce well-behaved subclasses of submodular/L-convex functions, and show that these classes can be characterized by the convexity of the Lovász extension. We demonstrate applications of our theory to combinatorial optimization problems that include multicommodity flow, multiway cut, and related labeling problems: these problems have been outside the scope of discrete convex analysis so far.

研究动机与目标

• 将离散凸分析从整数格Z^n推广至如定向模图与模半格等图论结构。
• 在这些图结构上建立L-凸函数与子模函数的统一框架，推广L♮-凸性与子模性。
• 证明此前不在离散凸分析范围内的问题（如多商品流与多路切割）现在可在此框架下处理。
• 证明在这些结构上对L-凸函数使用最速下降算法（SDA）的迭代次数具有紧致界。
• 表明L-凸函数的Lovász扩展是凸的，从而为具有良好性质的子类提供几何表征。

提出的方法

• 利用离散中点凸性与格论运算，在定向模图上定义L-凸函数，在模半格上定义子模函数。
• 通过树的重心剖分将图结构嵌入欧几里得建筑物，从而应用度量凸性与CAT(0)空间理论。
• 在所得度量空间上构造L-凸函数的Lovász扩展，并利用重心剖分的性质证明其凸性。
• 建立Lovász扩展为凸函数与离散中点凸性条件之间的等价性，从而表征具有良好性质的子类。
• 应用最速下降算法（SDA）最小化这些结构上的L-凸函数，其迭代次数由定义域的l∞-直径界定。
• 利用与射影空间、极性空间以及非正曲率度量空间（CAT(0)空间）的联系，推导出结构与算法结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将L-凸函数与子模函数从Z^n推广至如定向模图与模半格等图结构？
• RQ2 CAT(0)空间与欧几里得建筑物在表征图上离散函数Lovász扩展的凸性中起什么作用？
• RQ3 在图结构上，L-凸函数的最速下降算法能否实现紧致迭代次数界？其依赖于定义域的何种几何特性？
• RQ4 已知的离散凸类（如k-子模、斜双子模与UJ-凸函数）在多大程度上可纳入此广义框架？
• RQ5 该理论能否应用于此前不在离散凸分析范围内的组合优化问题，如多商品流与多路切割问题？

主要发现

• 定向模图上的L-凸函数满足一种离散中点凸性条件，该条件推广了Z^n上的L♮-凸性。
• 定向模图上L-凸函数的Lovász扩展为凸函数，当且仅当该函数满足离散中点凸性条件。
• 在这些图上最小化L-凸函数的最速下降算法（SDA）最多在O(D)次迭代内终止，其中D为定义域的l∞-直径。
• 模半格上的子模函数与定向模图上的L-凸函数可涵盖已知类如k-子模与斜双子模函数。
• 该理论通过SDA实现了可 orientable 模图上最小0-扩展问题的多项式时间可解性。
• 通过将多商品流与多路切割问题嵌入图结构上L-凸函数最小化的框架，建立了其应用。