[论文解读] L-Dunford-Pettis property in Banach spaces

Abderrahman Retbi, Bouazza El Wahbi|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文引入了巴拿赫空间中的L-Dunford-Pettis性质，其定义为：在对偶空间中，L-Dunford-Pettis集的相对弱紧性。该文证明了该性质刻画了从X到ℓ∞的弱紧算子与Dunford-Pettis完全连续算子重合的条件，并证明了W(X,ℓ∞)在DPcc(X,ℓ∞)中可补当且仅当X具有L-Dunford-Pettis性质。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the concept of L-Dunford-Pettis sets and L-Dunford-Pettis property in Banach spaces. Next, we give a characterization of the L-Dunford-Pettis property with respect to some well-known geometric properties of Banach spaces. Finally, some complementability of operators on Banach spaces with the L-Dunford-Pettis property are also investigated

研究动机与目标

• 引入并研究巴拿赫空间对偶空间中L-Dunford-Pettis集的概念。
• 将L-Dunford-Pettis性质定义为：对偶空间中每个L-Dunford-Pettis集都是相对弱紧的条件。
• 以算子类（特别是DPcc与弱紧算子）的角度刻画L-Dunford-Pettis性质。
• 研究从X到ℓ∞的弱紧算子在DPcc算子类中的可补性。
• 利用巴拿赫空间的几何与算子理论性质，建立L-Dunford-Pettis性质的等价刻画。

提出的方法

• 将X′中的集合A ⊂ X′定义为L-Dunford-Pettis集，若其为范数有界集，且X中每个弱零列(xn)（若为Dunford-Pettis集）在A上一致收敛于零。
• 证明X′中的每个L集都是L-Dunford-Pettis集，且X′的相对弱紧子集也是L-Dunford-Pettis集。
• 利用DPcc算子在DP集上一致收敛的刻画，将L-Dunford-Pettis性质与算子类联系起来。
• 应用引理2.12（关于ℓ∞中零列的性质）分析进入ℓ∞的算子结构及其可补性。
• 通过X′中非弱收敛列构造反例算子S: X → ℓ∞，证明当L-Dunford-Pettis性质不成立时，W(X,ℓ∞)不可补。
• 利用限制映射与伴随算子，将DPcc(X,ℓ∞)的结构与W(X,ℓ∞)的结构联系起来，并在推论2.14中导出等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个巴拿赫空间对偶空间中的每个L-Dunford-Pettis集都是相对弱紧的？
• RQ2 L-Dunford-Pettis性质如何与Dunford-Pettis性质及Grothendieck性质相关联？
• RQ3 在何种条件下，从X到ℓ∞的弱紧算子空间在DPcc算子空间中可补？
• RQ4 可分子空间与序列在刻画L-Dunford-Pettis性质中起什么作用？
• RQ5 W(X,ℓ∞)与DPcc(X,ℓ∞)何时重合？

主要发现

• 巴拿赫空间X具有L-Dunford-Pettis性质当且仅当X′中每个L-Dunford-Pettis集都是相对弱紧的。
• L-Dunford-Pettis性质等价于：当Y = ℓ∞时，每个DPcc算子T: X → Y都是弱紧的。
• 若X不具有L-Dunford-Pettis性质，则W(X,ℓ∞)在DPcc(X,ℓ∞)中不可补。
• W(X,ℓ∞)在DPcc(X,ℓ∞)中可补当且仅当X具有L-Dunford-Pettis性质。
• L-Dunford-Pettis性质蕴含每个到ℓ∞的弱紧算子都是DPcc算子，且在该性质下反之亦然。
• L-Dunford-Pettis性质通过算子类为具有DPrcP性质的巴拿赫空间与自反空间提供了新的刻画。