[论文解读] L\\^e-Greuel type formula for the Euler obstruction and applications

Nicolas Dutertre, Nivaldo G. Grulha|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文为奇异复解析空间上解析函数的欧拉阻碍建立了类 Lê-Greuel 公式，引入了 Brasselet 数 $\mathrm{B}_{f,X}(0) = \mathrm{Eu}_X(0) - \mathrm{Eu}_{f,X}(0)$ 以将米尔诺数公式推广至奇异情形。通过使用陈-外尔形式与凯勒几何，推导出一个积分公式，利用极乘数与交点理论，将凯尼恩的高斯-博内公式推广至奇异代数簇。

ABSTRACT

The Euler obstruction of a function can be viewed as a generalization of the Milnor number for functions defined on singular spaces. In this work, using the Euler obstruction of a function, we give a version of the L\\^e-Greuel formula for two germs of analytic functions with isolated singularity at the origin on a singular space. Using this formula and results of Loeser, we also present an integral formula for the Euler obstruction of a function, generalizing a formula of Kennedy.

研究动机与目标

• 将米尔诺数的 Lê-Greuel 公式推广至奇异复解析空间上的函数。
• 定义并研究 Brasselet 数 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$，作为具有孤立奇点的函数在奇异空间上的欧拉阻碍的一般化。
• 利用陈-外尔形式与交点重数，将此前仅适用于光滑空间的米尔诺数积分公式推广至奇异代数簇。
• 通过极量与局部不变量，建立奇异空间上米尔诺纤维欧拉特征的高斯-博内型公式。

提出的方法

• 将 Brasselet 数 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ 定义为局部欧拉阻碍 $\mathrm{Eu}_X(0)$ 与函数欧拉阻碍 $\mathrm{Eu}_{f,X}(0)$ 之差。
• 在奇异空间上使用交点理论，将 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ 与交点重数 $I_{X,0}(X^f, \overline{\Gamma^q_{f,g}})$ 关联，其中 $\Gamma^q_{f,g}$ 为一对 $(f,g)$ 的极集。
• 应用 Loeser 的极乘数积分公式，通过陈-外尔形式 $c^{w}_{d-1-i}(T_f)$ 与凯勒形式 $\omega$ 表达 $I_{X\cap H^i,0}(\Gamma^i_f, X^f \cap H^i)$。
• 推导出一个一般积分公式：$\mathrm{B}_{f,X}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{X_{\text{reg}}\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d-1} c^{w}_{d-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$。
• 通过使用一组一般线性子空间 $H^i$ 的旗，将问题约化为在低余维下反复应用 Lê-Greuel 公式。
• 恢复已知结果作为特例：当 $X = \mathbb{C}^N$ 时，公式退化为 Teissier 引理与 Kennedy 的积分公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将米尔诺数的 Lê-Greuel 公式推广至奇异复解析空间上的函数？
• RQ2 在奇异空间上具有孤立奇点的函数，其米尔诺数的合适推广是什么？
• RQ3 能否利用如陈-外尔形式等微分几何工具，推导出奇异空间上函数欧拉阻碍的积分公式？
• RQ4 极量与交点重数在奇异情形下如何与欧拉阻碍关联？
• RQ5 能否建立奇异空间上米尔诺纤维欧拉特征的高斯-博内型公式？

主要发现

• Brasselet 数 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ 定义为 $\mathrm{Eu}_X(0) - \mathrm{Eu}_{f,X}(0)$，推广了奇异空间上函数的欧拉阻碍。
• 建立了类 Lê-Greuel 公式：$\mathrm{B}_{f,X}(0) - \mathrm{B}_{f,X^g}(0) = (-1)^d I_{X,0}(X^f, \overline{\Gamma^q_{f,g}})$，其中 $\Gamma^q_{f,g}$ 为 $(f,g)$ 对的极集。
• 推导出一个积分公式：$\mathrm{B}_{f,X}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{X_{\text{reg}}\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d-1} c^{w}_{d-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$。
• 当 $X = \mathbb{C}^N$ 时，该公式恢复了 Teissier 引理与 Kennedy 的米尔诺数积分公式。
• 该公式可推广至 $X$ 的分层 $V_k$，得到 $\mathrm{B}_{f,\overline{V_k}}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{V_k\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d_k-1} c^{w}_{d_k-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$。
• 获得关于 $f^{-1}(\delta)\cap X\cap B_\varepsilon$ 欧拉特征的高斯-博内型公式：$\chi(f^{-1}(\delta)\cap X\cap B_\varepsilon) = \sum_{k=1}^q (1 - \chi(\mathrm{lk}^\mathbb{C}(V_k,X))) \cdot \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{V_k\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d_k-1} c^{w}_{d_k-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$。