[论文解读] L\\'evy processes with marked jumps II : Application to a population model with mutations at birth

Cécile Delaporte|arXiv (Cornell University)|May 28, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文研究了带有出生突变的种群模型的渐近系谱，采用带漂移的 Lévy 过程与点过程理论。研究建立了编码谱系聚合与突变时间的带标记共祖先点过程向多变量泊松点过程的收敛性，其特征由一个非负跳过程的首攀高度过程决定，并在稀有突变情形下给出了显式极限。

ABSTRACT

Consider a population where individuals give birth at constant rate during their lifetimes to i.i.d. copies of themselves. Individuals bear clonally inherited types, but (neutral) mutations may happen at the birth events. The smallest subtree containing the genealogy of all the extant individuals at a fixed time \ au, is called the coalescent point process. We enrich this process with the history of the mutations that appeared over time, and call it the marked coalescent point process. With the help of limit theorems for L\\'evy processes with marked jumps established in a previous work (arXiv:1305.6245), we prove the convergence of the marked coalescent point process with large population size and two possible regimes for the mutations - one of them being a classical rare mutation regime, towards a multivariate Poisson point process. This Poisson point process can be described as the coalescent point process of the limiting population at \ au, with mutations arising as inhomogeneous regenerative sets along the lineages. Its intensity measure is further characterized thanks to the excursion theory for spectrally positive L\\'evy processes. In the rare mutations asymptotic, mutations arise as the image of a Poisson process by the ladder height process of a L\\'evy process with infinite variation, and in the particular case of the critical branching process with exponential lifetimes, the limiting object is the Poisson point process of the depths of excursions of the Brownian motion, with Poissonian mutations on the lineages.

研究动机与目标

• 分析在出生事件中发生突变的种群的系谱结构，重点关注谱系聚合与突变历史的联合动态。
• 将共祖先点过程框架扩展至包含代表突变的带标记跳跃，从而在大种群中研究等位基因划分。
• 在种群规模趋于无穷的极限下，为带标记分裂树建立极限定理，尤其关注中性突变的情形。
• 利用非负跳 Lévy 过程的点过程理论，刻画突变事件沿谱系分布的极限分布。
• 在两种情形下推导显式收敛结果：一般突变强度与稀有突变，其中在临界分支情形下与布朗运动点过程存在联系。

提出的方法

• 将种群建模为带标记分裂树，其中每个出生事件以 0（克隆）或 1（突变体）标记，使用强度测度为 $\text{d}t \cdot \Lambda(\text{d}r)$ 的泊松过程来描述出生时间与寿命。
• 将带标记共祖先点过程 $\Sigma_n$ 定义为一个随机点测度，用于编码在固定时间 $\tau$ 的第 $n$ 个种群中每条谱系的聚合时间与突变时间。
• 使用跳跃时间序贯轮廓过程（JCCP）编码树结构，证明其收敛于一个有限变差的非负跳 Lévy 过程，该过程在 $\tau$ 以下被反射，并在 0 处吸收。
• 应用先前工作 [8] 中关于带标记跳跃的 Lévy 过程的极限定理，证明 $\Sigma_n$ 的拉普拉斯泛函收敛于多变量泊松点过程的拉普拉斯泛函。
• 利用点过程理论，特别是 Lévy 过程的首攀高度过程，刻画极限泊松过程的强度测度。
• 在稀有突变情形下，证明突变事件是泊松过程在首攀高度过程下的像，且在临界情形下与指数寿命的布朗运动点过程深度存在显式联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当种群规模趋于无穷时，带有出生突变的种群的系谱结构在极限下如何表现？
• RQ2 编码谱系聚合与突变事件的带标记共祖先点过程的极限分布是什么？
• RQ3 在极限下，谱线上的突变动态如何演化，尤其是在稀有突变情形下？
• RQ4 能否利用非负跳 Lévy 过程的点过程理论，刻画极限泊松点过程的强度测度？
• RQ5 在指数寿命的临界分支过程中，极限突变过程与布朗运动点过程之间存在何种联系？

主要发现

• 当种群规模 $I_n \to \infty$ 时，带标记共祖先点过程 $\Sigma_n$ 在分布上收敛于一个多元泊松点过程。
• 在稀有突变情形下，极限突变过程的分布是 Lévy 过程的首攀高度过程下泊松过程的像，且该 Lévy 过程具有无限变差。
• 对于指数寿命的临界分支过程，极限对象是布朗运动点过程深度的泊松点过程，突变事件作为谱线上的泊松标记出现。
• 极限泊松过程的强度测度通过点过程理论刻画，具体通过底层非负跳 Lévy 过程的点过程局部时与首攀高度过程实现。
• 收敛性通过拉普拉斯泛函的弱收敛性建立，依赖于重标记得到的马尔可夫链的统一收敛性与控制收敛定理。
• 在寿命测度 $\Lambda$ 的较弱矩条件下收敛性成立，且极限对初始种群规模的选择不敏感，只要种群规模趋于无穷即可。