[论文解读] L-groups and parameters for covering groups

Martin H. Weissman|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文通过使用Brylinski-Deligne扩张中的不变量Q、D和f，将朗兰兹纲领扩展至覆盖群，为局部和全球域上的拟分裂半单群的n次覆盖群定义了一个L-群。通过使用元伽罗瓦群和平展层上的2-丛，构造了一个非分裂的L-群，从而实现了对真实不可约表示（包括无瑕和离散系列表示）的参数化。

ABSTRACT

We incorporate covers of quasisplit reductive groups into the Langlands program, defining an L-group associated to such a cover. We work with all covers that arise from extensions of quasisplit reductive groups by $\mathbf{K}_2$ -- the class studied by Brylinski and Deligne. We use this L-group to parameterize genuine irreducible representations in many contexts, including covers of split tori, unramified representations, and discrete series for double covers of semisimple groups over $\mathbb R$. An appendix surveys torsors and gerbes on the étale site, as they are used in the construction of the L-group.

研究动机与目标

• 本文旨在将拟分裂半单群的覆盖群纳入朗兰兹纲领之中。
• 解决覆盖群（尤其是由K2-扩张产生的覆盖群）缺乏系统性L-群构造的问题。
• 目标是定义一个L-群，以在局部、全局和算术背景下参数化真实不可约表示。
• 旨在通过2-丛和挠子（torsors）将表示论构造与伽罗瓦理论和上同调工具统一起来。
• 本工作为马蒂普利克（metaplectic）情形下的L-函数和韦伊参数提供了框架。

提出的方法

• 将L-群L˜G构造为GalF到˜G∨的扩张，其中˜G∨是一个带标记的复半单群。
• 利用Brylinski-Deligne理论中的三个不变量：Galois不变的二次型Q、共轭格的中心扩张D，以及一个高阶不变量f。
• 引入元伽罗瓦群作为通过希尔伯特符号的2-上同调扩张µ2 → gGalF → GalF的典范形式。
• 在平展层F´et上定义一个2-丛Eǫ(˜G)，作为L-群构造中的第二个扭变。
• 通过Baer和将元伽罗瓦扩张与2-丛的基本群结合，形成L-群扩张。
• 将L-群应用于通过Weil参数WF → L˜G参数化ǫ-真实表示，其轨道在˜G∨作用下形成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将朗兰兹纲领扩展至由拟分裂半单群的K2-扩张产生的覆盖群？
• RQ2 此类覆盖群的L-群的正确推广是什么？它与经典朗兰兹L-群有何不同？
• RQ3 如何利用此扩展的L-群来参数化真实不可约表示？
• RQ4 2-丛和挠子在构造覆盖群L-群的过程中起什么作用？
• RQ5 L-群在限制到勒维子群以及在局部与全局域之间传递时的行为如何？

主要发现

• L-群L˜G被构造为通过元伽罗瓦群和F´et上2-丛的基本群的扩张：˜G∨ → L˜G → GalF。
• 该构造对“良好对齐”的同态是函子性的，并尊重勒维子群和全局-局部限制。
• L-群通过˜G∨作用下Weil参数WF → L˜G的轨道，参数化了ǫ-真实不可约表示。
• 对于分裂环面，通过Weil参数的参数化与Deligne的构造一致，并在马蒂普利克情形下恢复了经典的局部朗兰兹对应。
• 在分裂环面的情形下，L-群构造与[GG14]的E1 + E2方法一致，尽管尚未在分裂半单群的情形下验证。
• 本文为马蒂普利克情形下的L-函数和自守L-函数提供了系统框架，尤其适用于无瑕和离散系列表示。