[论文解读] L-infinity algebra actions

Rajan Amit Mehta, Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文引入了在分次流形上关于 $L_{\text{u}}$-代数作用的概念，表明此类作用恰好对应于 $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 上投影到 $\mathfrak{g}[1]$ 上的 $Q$-结构的同调向量场。主要贡献是将变换李代数胚对应关系推广至 $L_{\infty}$-代数，从而引入了 $L_{\infty}$-代数的半直积新概念，并统一了已知的结构，如模与同伦意义下的表示。

ABSTRACT

We define the notion of action of an L-infinity algebra $g$ on a graded manifold $M$, and show that such an action corresponds to a homological vector field on $g[1] imes M$ of a specific form. This generalizes the correspondence between Lie algebra actions on manifolds and transformation Lie algebroids. In particular, we consider actions of $g$ on a second L-infinity algebra, leading to a notion of "semidirect product" of L-infinity algebras more general than those we found in the literature.

研究动机与目标

• 将经典李代数作用与变换李代数胚之间的对应关系推广至 $L_{\infty}$-代数的设定。
• 定义在分次流形 $\mathcal{M}$ 上的 $L_{\infty}$-作用概念，该概念推广了无穷小作用，并包含已知结构如 $L_{\infty}$-模与同伦意义下的表示。
• 建立 $L_{\infty}$-作用与从 $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 到 $\mathfrak{g}[1]$ 的 $Q$-流形态射之间的对应关系。
• 通过半直积构造一类新的 $L_{\infty}$-代数扩张，其比现有构造更一般。

提出的方法

• 通过在 $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 上定义一个投影到 $\mathfrak{g}[1]$ 上的 $Q$-结构的同调向量场 $Q$，来定义分次向量空间 $\mathfrak{g}$ 在分次流形 $\mathcal{M}$ 上的 $L_{\infty}$-作用。
• 利用 $Q$-流形形式化语言，通过度数为 1 的同调向量场编码 $L_{\infty}$-代数结构。
• 通过条件：投影 $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M} \to \mathfrak{g}[1]$ 是 $Q$-流形态射，来刻画 $L_{\infty}$-作用。
• 当 $\mathcal{M}$ 是另一 $L_{\infty}$-代数 $\mathfrak{h}$ 关联的 $Q$-流形时，构造 $\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{h}$ 上的半直积 $L_{\infty}$-代数结构。
• 将该框架应用于度数为 1 的 $NQ$-流形，表明其对应于李代数胚，从而扩展了经典理论。
• 利用该框架研究通过李代数胚同构与向量场的单位时间流实现的 $L_{\infty}$-作用等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的变换李代数胚构造推广至 $L_{\infty}$-代数？
• RQ2 在分次流形上的 $L_{\infty}$-代数作用与 $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 上的同调向量场之间存在何种精确对应关系？
• RQ3 能否构造一个广义化已知构造（如 $L_{\infty}$-模与同伦意义下的表示）的 $L_{\infty}$-代数半直积？
• RQ4 $L_{\infty}$-作用在 $Q$-流形上如何与李代数胚及考朗代数胚的扩张相关联？
• RQ5 在构造 $\mathfrak{g} \times M \oplus A$ 上的典范李代数胚结构时，矩图起到何种作用？

主要发现

• 在分次流形 $\mathcal{M}$ 上的 $L_{\infty}$-作用等价于 $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 上的同调向量场，使得投影到 $\mathfrak{g}[1]$ 是 $Q$-流形态射。
• 当 $\mathcal{M}$ 是另一 $L_{\infty}$-代数 $\mathfrak{h}$ 关联的 $Q$-流形时，所得结构是 $\mathfrak{g}$ 关于 $\mathfrak{h}$ 的 $L_{\infty}$-代数扩张，广义化了半直积构造。
• 该构造恢复了已知结构：$L_{\infty}$-模、同伦意义下的表示以及伴随表示，作为特例。
• 对于度数为 1 的 $NQ$-流形，该框架产生李代数胚扩张，且关联的李代数胚结构 $\mathfrak{g} \times M \oplus A$ 在由线性映射 $\phi: \mathfrak{g} \to \Gamma(A)$ 扭曲时，同构于乘积李代数胚。
• $L_{\infty}$-作用的等价性对应于与投影到 $\mathfrak{g}$ 交换的关联李代数胚同构。
• 在泊松-李群作用中，通过矩图 $J: M \to G^*$ 可导出 $\mathfrak{g} \times M \oplus A$ 上的典范李代数胚结构，其混合括号仅取值于 $A$，与陆氏构造不同。