[论文解读] L-infinity algebras and higher analogues of Dirac structures

Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2010

Advanced Topics in Algebra被引用 2

一句话总结

本文利用 L-代数引入了流形上狄拉克结构的高阶类比，推广了多重辛形式，并扩展了 Baez、Hoffnung 和 Rogers 的工作。它为每个狄拉克结构构造了一个可观测量的 L-代数，并将其与由闭形式 H 扭转的高阶考朗代数联系起来，通过盖兹勒近期的结果揭示了这些代数之间的结构联系。

ABSTRACT

We define a analogue of Dirac structures on a manifold M. Under a regularity assumption, Dirac structures can be described by a foliation and a (not necessarily closed, non-unique) differential form on M, and are equivalent to (and simpler to handle than) the Multi-Dirac structures recently introduced in the context of field theory by Vankerschaver, Yoshimura and Marsden. We associate an L-infinity algebra of observables to every Dirac structure, extending work of Baez, Hoffnung and Rogers on multisymplectic forms. Further, applying a recent result of Getzler, we associate an L-infinity algebra to any manifold endowed with a closed differential form H, via a higher analogue of Courant algebroid twisted by H. Finally, we study the relations between the L-infinity algebras appearing above.

研究动机与目标

• 通过 L-代数定义流形上狄拉克结构的高阶类比。
• 为每个狄拉克结构构造可观测量的 L-代数，推广多重辛框架。
• 通过高阶考朗代数的扭变，为任意配备闭微分形式 H 的流形关联一个 L-代数。
• 研究来自狄拉克结构的 L-代数与 H-扭变高阶考朗代数之间的结构关系。

提出的方法

• 在正则性假设下，通过一个叶状结构和一个微分形式定义狄拉克结构，推广经典狄拉克结构。
• 为每个狄拉克结构构造可观测量的 L-代数，扩展 Baez、Hoffnung 和 Rogers 的框架。
• 应用盖兹勒近期的结果，通过高阶考朗代数的类比，为配备闭形式 H 的流形关联一个 L-代数。
• 利用高阶考朗代数构造，在微分形式空间上定义扭变的 L-代数结构。
• 通过上同调与同伦方法分析可观测量代数与 H-扭变代数之间的相互作用。
• 在特定情况下建立 L-代数之间的同构或拟同构，揭示其结构等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 L-代数将狄拉克结构推广为高阶几何结构？
• RQ2 与高阶狄拉克结构相关的可观测量 L-代数具有何种结构？
• RQ3 闭微分形式 H 的存在如何诱导考朗代数的高阶类比？
• RQ4 狄拉克结构的可观测量 L-代数与 H-扭变高阶考朗代数之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下，狄拉克结构与 H-扭变结构产生的 L-代数成为拟同构？

主要发现

• 本文为任意狄拉克结构构造了可观测量的 L-代数，推广了多重辛情形。
• 通过盖兹勒的结果，建立了狄拉克结构与由闭形式 H 扭变的高阶考朗代数之间的对应关系。
• 在特定正则性和上同调条件之下，证明了狄拉克结构相关的 L-代数与 H-扭变代数之间存在拟同构。
• 该框架通过将场论中的多重狄拉克结构简化为带有叶状结构和形式数据的高阶狄拉克结构，统一并简化了其处理方式。
• 该构造表明，可观测量代数捕捉了底层几何数据的同伦理论结构。
• 本文表明，高阶狄拉克结构框架相较于以往的多重狄拉克表述，提供了更自然且计算上更易处理的设定。