[论文解读] L-infinity Formality check for the Hochschild Complex of Certain Universal Enveloping Algebras

Martin Bordemann, Olivier Elchinger+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文研究了某些李代数（包括Cartan-3-正则二次李代数，如 $\mathfrak{so}(3)$）的通用包络代数的Hochschild复形的 $L_∞$-形式性。通过特征3-类障碍与同伦传递，证明了在这些情况下形式性不成立，但通过显式计算一个三次阶的非平凡 $d_3$ 李括号，恢复了 $L_∞$-拟同构。

ABSTRACT

We study the L-infinity-formality problem for the Hochschild complex of the universal enveloping algebra of some examples of Lie algebras such as Cartan-3-regular quadratic Lie algebras (for example semisimple Lie algebras and in more detail so(3)), and free Lie algebras generated by a vector space of dimension at least 2. We show that for these examples formality in Kontsevich's sense does NOT hold, although some of them allow unconditioned deformability. We compute the L-infinity-structure on the cohomology given by homotopy transfer in certain cases.

研究动机与目标

• 确定特定李代数的通用包络代数的Hochschild复形在Kontsevich意义下是否允许 $L_\infty$-形式性。
• 利用在Hochschild上同调的分次李代数的分次Chevalley-Eilenberg上同调中的特征3-类 $c_3$，研究 $L_\infty$-形式性的障碍。
• 当形式性不成立时，通过同伦传递计算上同调上的高阶 $L_\infty$ 括号。
• 在非形式性情形下，显式构造恢复 $L_∞$-拟同构的 $d_3$ 括号，特别针对 $\mathfrak{so}(3)$ 和自由李代数。

提出的方法

• 将特征3-类 $c_3$ 作为Hochschild上同调分次李代数的分次Chevalley-Eilenberg上同调中 $L_\infty$-形式性的主要障碍。
• 应用Kontsevich的形式性映射，将 $U(\mathfrak{g})$ 的Hochschild复形与 $\mathfrak{g}$ 以 $\mathcal{S}\mathfrak{g}$ 为系数的Chevalley-Eilenberg复形联系起来。
• 在二次李代数情形下，计算二次Casimir与Cartan 3-上循环的Schouten括号，以评估 $c_3$。
• 对于自由李代数，利用同构 $U(\mathfrak{f}(V)) \cong \mathcal{T}^\bullet V$，并计算导子空间中相对于内导子的补空间。
• 采用同伦摄动引理的 $L_\infty$ 形式，当形式性不成立时重构上同调上的高阶括号。
• 显式构造三次阶的 $d_3$ 括号，以在 $\mathfrak{so}(3)$ 和自由李代数情形下恢复 $L_∞$-拟同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换半单李代数的通用包络代数的Hochschild复形是否允许 $L_\infty$-形式性？
• RQ2 对于 $\mathfrak{so}(3)$ 和自由李代数，$L_\infty$-形式性的障碍性质是什么？
• RQ3 在非形式性情形下，是否可通过添加一个高阶括号 $d_3$ 来恢复 $L_\infty$-拟同构？
• RQ4 特征3-类 $c_3$ 如何检测 $U(\mathfrak{g})$ 的Hochschild复形中形式性的失败？
• RQ5 对于 $\mathfrak{so}(3)$ 和自由李代数，恢复 $L_∞$-拟同构的 $d_3$ 括号的显式结构是什么？

主要发现

• 非交换半单李代数（包括 $\mathfrak{so}(3)$）的通用包络代数的Hochschild复形不是 $L_∞$-形式的。
• 形式性的失败由Hochschild上同调分次李代数的分次Chevalley-Eilenberg上同调中的非平凡特征3-类 $c_3$ 所阻碍。
• 对于 $\mathfrak{so}(3)$，通过添加一个显式的三次阶 $d_3$ 括号，恢复了 $L_∞$-拟同构。
• 对于由维度 $\geq 2$ 的向量空间生成的自由李代数，形式性也失败，且通过添加一个 $d_3$ 括号恢复了 $L_∞$-拟同构。
• 尽管缺乏形式性，这些结合代数的形变问题始终可解，因其刚性所保证，表明形式性并非可积性的必要条件。
• 在两种情形下，均通过同伦传递以及自由代数情形下导子与内导子的结构，显式计算了 $d_3$ 括号。