[论文解读] $L^\infty$- and $W^{1,\infty}$-error estimates of linear finite element method for Neumann boundary value problems in a smooth domain

Takahito Kashiwabara, Tomoya Kemmochi|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文為在光滑区域中应用线性有限元方法求解二阶椭圆型诺伊曼问题时，建立了最优的逐点误差估计，考虑了由于多面体逼近引起的区域扰动。通过结合正则化格林函数与在 dyadic 环形区域中的局部 $H^1$- 和 $L^2$- 估计，证明了在 $L^\infty$- 和 $W^{1,\infty}$- 范数下分别具有 $O(h^2|\text{log}~h|)$ 和 $O(h)$ 的收敛速率，尽管由于边界逼近导致非协调性。

ABSTRACT

Pointwise error analysis of the linear finite element approximation for $-Δu + u = f$ in $Ω$, $\partial_n u = τ$ on $\partialΩ$, where $Ω$ is a bounded smooth domain in $\mathbb R^N$, is presented. We establish $O(h^2|\log h|)$ and $O(h)$ error bounds in the $L^\infty$- and $W^{1,\infty}$-norms respectively, by adopting the technique of regularized Green's functions combined with local $H^1$- and $L^2$-estimates in dyadic annuli. Since the computational domain $Ω_h$ is only polyhedral, one has to take into account non-conformity of the approximation caused by the discrepancy $Ω_h eq Ω$. In particular, the so-called Galerkin orthogonality relation, utilized three times in the proof, does not exactly hold and involves domain perturbation terms (or boundary-skin terms), which need to be addressed carefully. A numerical example is provided to confirm the theoretical result.

研究动机与目标

• 为具有诺伊曼边界条件的光滑区域中的线性有限元方法提供逐点误差估计。
• 解决由于多面体区域逼近 ($\Omega_h \neq \Omega$) 和边界不匹配 ($\Gamma_h \neq \Gamma$) 所引起的非协调性挑战。
• 将标准的 $L^\infty$ 和 $W^{1,\infty}$ 误差分析推广至存在区域扰动的诺伊曼问题。
• 在由于区域差异导致伽辽金正交性失效的情况下，建立最优收敛速率。
• 通过一个数值例子验证理论结果，确认所推导的误差界。

提出的方法

• 利用正则化格林函数，将 $L^\infty$ 和 $W^{1,\infty}$ 误差分析转化为格林函数逼近的 $W^{1,1}$- 误差估计。
• 采用 dyadic 分解将区域划分为以关注点为中心的环形区域 $A_j$，实现局部误差控制。
• 在每个环形区域内应用局部 $H^1$- 和 $L^2$- 估计，以控制正则化格林函数逼近的误差。
• 通过在加权范数中仔细估计其贡献，处理由 $\Omega_h \neq \Omega$ 和 $\Gamma_h \neq \Gamma$ 引起的区域扰动项（边界薄层效应）。
• 使用带有校正项的伽辽金正交关系以应对非协调性，确保稳定性和收敛性。
• 应用尺度启发式方法与 dyadic 分解，推导格林函数误差梯度在 $L^1$- 范数上的紧界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当计算区域为多面体时，线性有限元方法在光滑区域中求解诺伊曼问题的最优逐点收敛速率是什么？
• RQ2 边界逼近引起的区域扰动如何影响有限元方法中 $L^\infty$ 和 $W^{1,\infty}$ 误差估计？
• RQ3 正则化格林函数能否与 dyadic 环形区域有效结合，以在非协调性条件下推导出紧致的 $L^\infty$ 和 $W^{1,\infty}$ 误差界？
• RQ4 当 $\Omega_h \neq \Omega$ 且 $\Gamma_h \neq \Gamma$ 时，边界薄层项在误差分析中起什么作用？
• RQ5 所推导的误差估计与协调情形下的标准结果相比如何？$L^\infty$- 误差中的对数因子有何影响？

主要发现

• 本文建立了线性有限元方法求解诺伊曼问题在 $L^\infty$- 范数下的 $O(h^2|\text{log}~h|)$ 误差界。
• 在 $W^{1,\infty}$- 范数下证明了 $O(h)$ 的误差界，该速率与光滑解的最优收敛率一致。
• 尽管由于区域逼近导致非协调性，收敛速率仍得以实现，且对 $\Omega_h \neq \Omega$ 引起的边界薄层项进行了细致处理。
• 该分析依赖于正则化格林函数和在 dyadic 环形区域中的局部估计，以控制奇异点附近的逐点误差。
• 推论表明，边界薄层贡献受 $\delta = C_0 E h^2$ 控制，且梯度的 $L^1$- 范数适当衰减。
• 一个数值例子验证了理论收敛速率，确认了所推导误差估计的有效性。