[论文解读] L-modules and micro-support

Leslie Saper|ArXiv.org|Dec 22, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 34被引用 14

一句话总结

本文引入了 $\mathrm{L}$-模作为研究局部对称空间的约化Borel-Serre紧化上构造层的组合框架。它为 $\mathrm{L}$-模定义了微观支撑，证明了全局消失定理，计算了加权上同调与交上同调的微观支撑，并建立了在限制下的函子性。关键结果解决了15年前的猜想：对于具有等秩边界分量的Hermitian局部对称空间，其约化Borel-Serre紧化的交上同调同构于Baily-Borel-Satake紧化的交上同调。

ABSTRACT

L-modules are a combinatorial analogue of constructible sheaves on the reductive Borel-Serre compactification of a locally symmetric space. We define the micro-support of an L-module; it is a set of irreducible modules for the Levi quotients of the parabolic Q-subgroups associated to the strata. We prove a vanishing theorem for the global cohomology of an L-module in term of the micro-support. We calculate the micro-support of the middle weight profile weighted cohomology and the middle perversity intersection cohomology L-modules. (For intersection cohomology we must assume the Q-root system has no component of type D_n, E_n, or F_4.) Finally we prove a functoriality theorem concerning the behavior of micro-support upon restriction of an L-module to the pre-image of a Satake stratum. As an application we settle a conjecture made independently by Rapoport and by Goresky and MacPherson, namely, that the intersection cohomology (for either middle perversity) of the reductive Borel-Serre compactification of a Hermitian locally symmetric space is isomorphic to the intersection cohomology of the Baily-Borel-Satake compactification. We also obtain a new proof of the main result of Goresky, Harder, and MacPherson on weighted cohomology as well as generalizations of both of these results to general Satake compactifications with equal-rank real boundary components. An overview of the theory of L-modules and the above conjecture, as well as an application to the cohomology of arithmetic groups, can be found in math.RT/0112250 .

研究动机与目标

• 开发 $\mathrm{L}$-模的组合理论，作为约化Borel-Serre紧化上构造层的类比。
• 定义并研究 $\mathrm{L}$-模的微观支撑，其编码了抛物子群的Levi商群的不可约表示。
• 根据其微观支撑，证明 $\mathrm{L}$-模的全局消失定理。
• 计算中间权重型加权上同调与中间迷宫性交上同调 $\mathrm{L}$-模的微观支撑。
• 证明微观支撑在限制到Satake层时的函子性，并将其应用于解决Rapoport与Goresky-MacPherson的猜想。

提出的方法

• 通过抛物子群及其Levi商群在幂零根的李代数上同调上的作用，构建 $\mathrm{L}$-模理论。
• 微观支撑被定义为来自 $\mathrm{L}$-模上同调结构的Levi商群 $L_P$ 的不可约表示的集合。
• 使用Kostant的李代数上同调定理，将 $H(\mathfrak{n}_P; E)$ 分解为由 $W_P$（最小长度陪集代表元）索引的 $L_P$-模。
• 通过分析上同调支撑与微观支撑之间的关系，并利用约化Borel-Serre紧化的结构，确立了全局消失定理。
• 通过分析层包含下上同调的行为并利用分解 $W = W^P W_P$，证明了微观支撑在限制下的函子性。
• 通过证明交上同调的微观支撑在投影 $\pi: \widehat{X} \to X^*$ 下保持不变，从而解决了Rapoport–Goresky–MacPherson猜想，意味着交上同调层的拟同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 $\mathrm{L}$-模定义一个微观支撑，以捕捉其上同调的表示论结构？
• RQ2 在约化Borel-Serre紧化上，中间权重型加权上同调 $\mathrm{L}$-模的微观支撑是什么？
• RQ3 中间迷宫性交上同调 $\mathrm{L}$-模的微观支撑是什么？它与Satake紧化的上同调有何关系？
• RQ4 当限制到Satake层时，$\mathrm{L}$-模的微观支撑是否表现出函子性？
• RQ5 对于Hermitian局部对称空间，其约化Borel-Serre紧化的交上同调是否同构于Baily-Borel-Satake紧化的交上同调？

主要发现

• $\mathrm{L}$-模的微观支撑被定义为通过Kostant定理由 $H(\mathfrak{n}_P; E)$ 导出的不可约 $L_P$-模的集合。
• 证明了全局消失定理：若其微观支撑避开某些层，则 $\mathrm{L}$-模的全局上同调消失，该结果推广了加权上同调的结果。
• 中间权重型加权上同调 $\mathrm{L}$-模的微观支撑被显式计算，其表达式涉及Weyl群与最高权。
• 对于中间迷宫性交上同调，当 $\mathbb{Q}$-根系不含 $D_n$、$E_n$ 或 $F_4$ 分量时，其微观支撑被计算得出。
• 建立了微观支撑在限制到Satake层时的函子性，表明微观支撑在投影 $\pi: \widehat{X} \to X^*$ 的拉回下表现良好。
• 解决了Rapoport与Goresky–MacPherson的猜想：对于具有等秩实边界分量的Satake紧化，存在自然的拟同构 $\pi_*\mathcal{I}_p\mathcal{C}(\widehat{X}; \mathbb{E}) \cong \mathcal{I}_p\mathcal{C}(X^*; \mathbb{E})$。