[论文解读] L^p-asymptotic stability analysis of a 1D wave equation with a nonlinear damping

Yacine Chitour, Swann Marx+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文在 $p \in [2, \infty]$ 的 $L^p$-基函数空间中，为一维波动方程在非线性阻尼下建立了适定性与指数 $L^p$-渐近稳定性。通过使用李雅普诺夫泛函以及无限维时变线性系统的吸引性结果，即使在非单调非线性阻尼下，也证明了轨迹的指数衰减，并给出了明确的衰减速率估计，适用于狄利克雷边界条件和局部阻尼。

ABSTRACT

This paper is concerned with the asymptotic stability analysis of a one dimensional wave equation with Dirichlet boundary conditions subject to a nonlinear distributed damping with an L p functional framework, p $\in$ [2, $\infty$]. Some well-posedness results are provided together with exponential decay to zero of trajectories, with an estimation of the decay rate. The well-posedness results are proved by considering an appropriate functional of the energy in the desired functional spaces introduced by Haraux in [11]. Asymptotic behavior analysis is based on an attractivity result on a trajectory of an infinite-dimensional linear time-varying system with a special structure, which relies on the introduction of a suitable Lyapunov functional. Note that some of the results of this paper apply for a large class of nonmonotone dampings.

研究动机与目标

• 在 $p \in [2, \infty]$ 的 $L^p$-基函数空间中，建立一维波动方程在非线性阻尼下的适定性与渐近稳定性。
• 分析在一般非线性阻尼下（包括非单调情形）轨迹的渐近行为。
• 在 $L^p$ 范数下，为能量与状态轨迹提供显式的衰减速率估计。
• 将稳定性结果从经典的 $L^2$ 框架推广至 $p \neq 2$ 的 $L^p$ 空间，特别是 $p = \infty$ 的情形。
• 解决在高维中 $L^p$ 空间下达朗贝尔算子无界的问题，聚焦于一维情形，此时有界性成立。

提出的方法

• 分析基于哈劳克斯在 [11] 中提出的能量函数框架，将其适配至 $p \in [2, \infty]$ 的 $L^p$ 空间。
• 通过在函数空间 $H_p(0,1) = W_0^{1,p}(0,1) \times L^p(0,1)$ 和 $D_p(0,1) = W^{2,p}(0,1) \cap W_0^{1,p}(0,1) \times W_0^{1,p}(0,1)$ 中的能量估计，建立适定性。
• 关键技术在于分析从原始方程在轨迹附近线性化后得到的时变线性系统。
• 利用为时变系统量身定制的李雅普诺夫泛函，并借助无限维系统吸引性结果，证明渐近稳定性。
• 应用杜哈梅尔公式，将线性化系统的解表示为齐次项与非齐次项之和。
• 利用雷利希-孔德拉恰夫紧致嵌入，将 $H^1$-有界性提升为对空间导数的 $L^\infty$-有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一维波动方程在 $L^p$ 空间中，对 $p \in [2, \infty]$ 建立指数 $L^p$-渐近稳定性，且具有非线性阻尼？
• RQ2 在这些 $L^p$ 框架中，轨迹的衰减速率如何依赖于初始条件与阻尼特性？
• RQ3 稳定性结果能否推广至满足 $\xi \sigma(\xi) \geq 0$ 的非单调非线性阻尼 $\sigma$？
• RQ4 在 $p \neq 2$ 的 $L^p$ 空间中，达朗贝尔算子的作用是什么？在何种条件下其在一维中为有界算子？
• RQ5 该稳定性分析能否推广至其他 PDE，如 Korteweg-de Vries 方程或边界控制的波动方程，在 $L^p$ 空间中？

主要发现

• 在 $p \in [2, \infty]$ 下，系统在函数空间 $H_p(0,1)$ 与 $D_p(0,1)$ 中是适定的，当 $a(x)$ 与 $\sigma$ 满足适当假设时，解存在且唯一。
• 在假设 $\xi \sigma(\xi) \geq 0$ 下，轨迹在 $H_p(0,1)$ 中证明了指数衰减至零，衰减速率依赖于初始条件的大小，适用于 $p \in [2, \infty]$。
• 对于初始数据属于 $D_2(0,1)$ 的情形，解满足 $\|z_x\|_{L^\infty(0,1)} \leq C e^{-\beta t} \|(z_0,z_1)\|_{D_2(0,1)}$，其中 $C, \beta > 0$，表明空间导数在 $L^\infty$ 中有界。
• 在 $H_\infty(0,1)$ 中的衰减速率估计为 $\|(z,z_t)\|_{H_\infty(0,1)} \leq C e^{-\beta_1 t} \|(z_0,z_1)\|_{D_2(0,1)}$，其中 $C = 2K_1 + \frac{K_2}{\beta_2 - \beta_1} m a_1$。
• 结果适用于一大类非单调阻尼，不限于扇形有界或单调非线性。
• 分析确认在一维中，达朗贝尔算子在 $H_p(0,1)$ 中对 $p \in [2, \infty]$ 为有界算子，从而支持了 $L^p$ 框架的适用性。