[论文解读] $L^{p}$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on homogeneous groups

Tohru Ozawa, Michael Ruzhansky+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用 12

一句话总结

本文在齐次群上建立了尖锐的 $L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式，将经典不等式推广至具有任意齐次准范数的非欧几里得设置。通过一种基于径向导数和齐次性的新颖变分方法，推导出所有 $1 < p < \infty$ 的最优常数，扩展了先前的 $L^2$ 结果，并在具有任意各向异性的范数下恢复了欧几里得情形下的已知尖锐不等式。

ABSTRACT

We prove $L^{p}$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on homogeneous groups, which is one of most general subclasses of nilpotent Lie groups, all with sharp constants. We also discuss some of their consequences. Already in the abelian case of $\mathbb{R}^{n}$ our results provide new insights in view of the arbitrariness of the choice of the not necessarily Euclidean quasi-norm.

研究动机与目标

• 将齐次群上经典的 $L^2$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式推广至所有 $L^p$ 空间 $1 < p < \infty$。
• 在这些不等式中建立最优常数，且该常数独立于齐次准范数的选择，包括在各向异性的 $\mathbb{R}^n$ 设置中。
• 通过一种新的变分方法，将 $L^2$ 中使用的径向导数方法推广至 $L^p$，避免了仅在 $L^2$ 中存在的余项公式的需求。
• 在欧几里得空间中恢复并推广已知的尖锐 Hardy 不等式和 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式，适用于任意齐次准范数。

提出的方法

• 通过恒等式 $\frac{|Q - \gamma|}{p} \left\| \frac{f}{|x|^{\gamma/p}} \right\|_{L^p}^p \leq \left\| \frac{1}{|x|^\alpha} \mathcal{R}f \right\|_{L^p} \left\| \frac{f}{|x|^{\beta/(p-1)}} \right\|_{L^p}^{p-1}$（其中 $\gamma = \alpha + \beta + 1$）推导出齐次群 $\mathbb{G}$ 上涉及径向导数 $\mathcal{R}$ 的基本 $L^p$ 不等式，该群具有齐次维数 $Q$。
• 应用 Hölder 不等式和群结构的齐次性性质，利用径向导数算子 $\mathcal{R}$（通过群的伸缩结构定义）来控制 $L^p$-范数。
• 通过构造极值函数并验证等式条件，证明当 $\gamma \neq Q$ 时，常数 $\frac{|Q - \gamma|}{p}$ 的最优性。
• 通过推导涉及 $\mathcal{R}^{m+1}f$ 和 $\mathcal{R}^k f$ 的不等式，将结果推广至高阶导数，其中显式给出了包含项 $|Q - p(\alpha - j)|$ 乘积的最优常数。
• 以 $L^2$ 情况为基准，利用 [RS16c] 中已知的精确余项公式来验证 $L^p$ 结果的最优性和一致性。
• 将结果应用于恢复并推广 $\mathbb{R}^n$ 中的经典不等式，包括 $L^p$ Hardy 不等式和具有任意齐次准范数的 $L^p$ Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式，且常数为最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 齐次群上的 $L^2$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式能否推广至所有 $L^p$ 空间 $1 < p < \infty$，并保持最优常数？
• RQ2 在齐次群上，$L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的最优常数形式为何？其如何依赖于齐次维数 $Q$ 以及参数 $\alpha$、$\beta$ 和 $p$？
• RQ3 当余项公式不可用时，径向导数算子 $\mathcal{R}$ 是否仍能在齐次群上为 $L^p$ 不等式提供可行且最优的框架？
• RQ4 $L^p$ 不等式能否恢复并推广欧几里得空间中已知的尖锐不等式，包括各向异性和非欧几里得准范数的情形？
• RQ5 高阶导数 $\mathcal{R}^k f$ 如何影响所得不等式的最优性和结构？

主要发现

• 本文在任意齐次维数为 $Q$ 的齐次群 $\mathbb{G}$ 上建立了尖锐的 $L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式，常数为 $\frac{|Q - \gamma|}{p}$，其中 $\gamma = \alpha + \beta + 1$，且当 $\gamma \neq Q$ 时该常数为最优。
• 当 $p=2$ 时，不等式退化为 $\frac{|Q - \gamma|}{2} \left\| \frac{f}{|x|^{\gamma/2}} \right\|_{L^2}^2 \leq \left\| \frac{1}{|x|^\alpha} \mathcal{R}f \right\|_{L^2} \left\| \frac{f}{|x|^\beta} \right\|_{L^2}$，与 [RS16c] 中的尖锐 $L^2$ 结果一致，证实了常数的最优性。
• 该方法在 $\mathbb{R}^n$ 中导出了新的尖锐不等式，适用于任意齐次准范数，将经典 $L^p$ Hardy 不等式和 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式推广至标准欧几里得范数之外。
• 对于高阶导数，本文推导出形式为 $\frac{|Q - \gamma|}{p} \left\| \frac{f}{|x|^{\gamma/p}} \right\|_{L^p}^p \leq \widetilde{A}_{\alpha,m} \widetilde{A}_{\beta,k} \left\| \frac{1}{|x|^{\alpha - m}} \mathcal{R}^{m+1}f \right\|_{L^p} \left\| \frac{1}{|x|^{\beta/(p-1) - k}} \mathcal{R}^k f \right\|_{L^p}^{p-1}$ 的尖锐不等式，其中显式给出了包含项 $|Q - p(\alpha - j)|$ 乘积的最优常数。
• 通过与已知的 $L^2$ 情况下的精确余项公式保持一致，确认了常数的最优性，且证明这些常数无法进一步改进。
• 结果推广并统一了此前在各向同性和各向异性设置下（包括在幂零李群和各向异性的 $\mathbb{R}^n$ 上）关于 Hardy 和 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的已有结果。