[论文解读] $L^{p}$ compactness criteria with an application to variational convergence of some nonlocal energy functionals

Qiang Du, Tadele Mengesha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了基于一般、非径向对称相互作用核的非局部能量空间中向量场的 $L^p$ 紧致性准则。通过引入基于方向差分的非局部 Riesz-Fréchet-Kolmogorov 型准则，证明了有界序列在 $L^p$ 中的预紧性，从而实现了非局部能量泛函在 peridynamics 及相关模型中的变分收敛。

ABSTRACT

Motivated by some variational problems from a nonlocal model of mechanics, this work presents a set of sufficient conditions that guarantee a compact inclusion in the function space of $L^{p}$ vector fields defined on a domain $Ω$ that is either a bounded domain in $\mathbb{R}^{d}$ or $\mathbb{R}^{d}$ itself. The criteria are nonlocal and are given with respect to nonlocal interaction kernels that may not be necessarily radially symmetric. Moreover, these criteria for vector fields are also different from those given for scalar fields in that the conditions are based on nonlocal interactions involving only parts of the components of the vector fields. The $L^{p}$ compactness criteria are utilized in demonstrating the convergence of minimizers of parametrized nonlocal energy functionals.

研究动机与目标

• 为非局部能量空间中具有非径向、非局部相互作用核的向量场建立 $L^p$ 紧致性的充分条件。
• 解决当核在原点处非径向对称或不可积时，非局部系统在 $L^p$ 中缺乏紧致性准则的问题。
• 为证明力学与材料科学中参数化非局部能量泛函的变分收敛性提供一个框架。
• 将经典紧致性理论（如 Riesz-Fréchet-Kolmogorov）推广至与 peridynamics 相关的非局部、非对称设置。
• 在非局部能量收敛与 $L^p$ 中极小化子的强收敛之间建立桥梁。

提出的方法

• 引入基于方向差分 $\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{x}')$ 的非局部半范数 $|\mathbf{u}|_{\mathcal{S}_{\rho,p}}$，用于度量沿向量方向的相对形变。
• 定义涉及 $\rho(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \cdot |\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{y})|^p$ 在 $\Omega \times \Omega$ 上的核加权 $L^p$ 半范数。
• 从 $\Gamma^\delta(\mathbf{z}) = \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}\chi_{\complement B_\delta}(\mathbf{z})$ 构造一族逼近单位的核 $\mathbb{G}^\delta$，并将其归一化为矩阵值且径向对称。
• 应用 Riesz-Fréchet-Kolmogorov 定理的一个变体，证明若 $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p} \to 0$ 当 $\delta \to 0$ 时对所有 $n$ 一致成立，则 $\{\mathbf{u}_n\}$ 在 $L^p(D;\mathbb{R}^d)$ 中是预紧的。
• 利用估计式 $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p}^p \leq C d^p / \|\Gamma^\delta\|_{L^1}$，其中 $\|\Gamma^\delta\|_{L^1} \to \infty$ 在条件 (A.1) 下成立，以控制逼近误差。
• 证明在 $\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}$ 在原点附近满足非可积条件 (A.1) 时，$\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$ 中的有界性蕴含 $L^p(D;\mathbb{R}^d)$ 中的预紧性，对任意有界开集 $D$ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种核 $\rho$ 的条件下，嵌入 $\mathcal{S}_{\rho,p}(\Omega) \hookrightarrow L^p(D;\mathbb{R}^d)$ 对有界区域 $D$ 是预紧的？
• RQ2 当核 $\rho$ 非径向对称时，能否在 $L^p$ 中建立非局部向量场的紧致性？
• RQ3 如何将经典的 Riesz-Fréchet-Kolmogorov 紧致性准则推广至非局部、非对称的相互作用算子？
• RQ4 方向差分算子 $\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{x}')$ 在刻画非局部能量空间中紧致性方面起什么作用？
• RQ5 在 $\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}$ 的弱可积性假设下，$\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$ 中的有界性是否蕴含 $L^p$ 预紧性？

主要发现

• 本文证明：若 $\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p} \notin L^1(B_1(0))$，则 $\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$ 中的有界序列在任意有界开集 $D$ 上于 $L^p(D;\mathbb{R}^d)$ 中是预紧的。
• 即使 $\rho$ 非径向对称，该紧致性准则依然成立，从而扩展了以往仅限于径向核结果的范围。
• 关键条件 (A.1) —— 即 $\int_{B_1(0)} \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p} d\mathbf{z} = \infty$ —— 是非局部 Riesz-Fréchet-Kolmogorov 型紧致性成立的必要且充分条件。
• 证明中构造了从 $\Gamma^\delta = \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}\chi_{\complement B_\delta}$ 导出的逼近单位核序列 $\mathbb{G}^\delta$，并证明其满足所需的收敛性质。
• 估计式 $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p}^p \leq C d^p / \|\Gamma^\delta\|_{L^1}$ 确保当 $\delta \to 0$ 时一致趋于零，从而可应用引理 A.2。
• 作为结果，参数化非局部能量泛函 $W_\rho(\mathbf{u})$ 的极小化子在所述核条件下于 $L^p(D;\mathbb{R}^d)$ 中强收敛，从而确立了变分收敛性。