[论文解读] $L_p$-discrepancy and beyond of higher order digital sequences

Josef Dick, Aicke Hinrichs+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Mathematical Approximation and Integration参考文献 17被引用 3

一句话总结

该论文证明了在二元域上，二阶数字 $(t,d)$-序列的 $L_p$-不均匀度达到最优，对所有 $p \in (1,\infty)$ 实现了最佳可能的阶数，并进一步表明其不均匀度范数在有界平均振荡、指数 Orlicz、Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间中亦为最优。

ABSTRACT

The $L_p$-discrepancy is a quantitative measure for the irregularity of distribution modulo one of infinite sequences. In 1986 Proinov proved for all $p>1$ a lower bound for the $L_p$-discrepancy of general infinite sequences in the $d$-dimensional unit cube, but it remained an open question whether this lower bound is best possible in the order of magnitude until recently. In 2014 Dick and Pillichshammer gave a first construction of an infinite sequence whose order of $L_2$-discrepancy matches the lower bound of Proinov. Here we give a complete solution to this problem for all finite $p > 1$. We consider so-called order $2$ digital $(t,d)$-sequences over the finite field with two elements and show that such sequences achieve the optimal order of $L_p$-discrepancy simultaneously for all $p \in (1,\infty)$. Beyond this result, we estimate the norm of the discrepancy function of those sequences also in the space of bounded mean oscillation, exponential Orlicz spaces, Besov and Triebel-Lizorkin spaces and give some corresponding lower bounds which show that the obtained upper bounds are optimal in the order of magnitude.

研究动机与目标

• 为填补理解 Proinov 的 $L_p$-不均匀度下界在所有 $p > 1$ 下是否在阶数上紧致的空白。
• 构建能对所有 $p \in (1,\infty)$ 同时实现最优 $L_p$-不均匀度阶数的序列，从而解决一个长期悬而未决的开放问题。
• 将不均匀度范数的分析从 $L_p$ 空间扩展至有界平均振荡、指数 Orlicz、Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间。
• 在这些函数空间中建立匹配的下界，以确认所获上界在阶数上的最优性。

提出的方法

• 在有限域 $\mathbb{F}_2$ 上构造二阶数字 $(t,d)$-序列，以确保在高维均匀分布中具有低不均匀度。
• 运用调和分析与函数空间理论的高级工具，估计不均匀度函数在 $L_p$、BMO、Orlicz、Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间中的范数。
• 应用数字网与序列理论，以序列参数和维度表示不均匀度的显式界。
• 通过利用序列结构和底层函数空间的性质，建立不均匀度范数的精确上界。
• 在每个函数空间中推导匹配的下界，以确认上界在阶数上的最优性。
• 运用对偶性与插值技术，关联不同函数空间中不均匀度行为，确认最优性的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Proinov 的一般序列 $L_p$-不均匀度下界在所有 $p > 1$ 下是否在阶数上紧致？
• RQ2 能否通过单一序列构造，使 $L_p$-不均匀度阶数对所有 $p \in (1,\infty)$ 同时达到最优？
• RQ3 此类序列的不均匀度范数在 $L_p$ 之外的空间（如 BMO 和指数 Orlicz 空间）中是否也最优？
• RQ4 Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间中不均匀度范数的上界是否在阶数上与已知下界匹配？
• RQ5 能否在多个函数空间尺度上统一确立不均匀度行为的最优性？

主要发现

• 在 $\mathbb{F}_2$ 上的二阶数字 $(t,d)$-序列对所有 $p \in (1,\infty)$ 实现了最优的 $L_p$-不均匀度阶数，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 这些序列的不均匀度函数在有界平均振荡（BMO）空间中的范数在阶数上是最优的。
• 在指数 Orlicz 空间中，不均匀度范数的上界被证明是精确的，与已知下界匹配。
• 在 Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间中，不均匀度范数的上界在阶数上是最优的，经由匹配的下界得到确认。
• 该构造在所有 $L_p$ 空间和多个函数空间尺度中同时实现了最优的不均匀度行为，展现出稳健性与普适性。