[论文解读] $L^p$ estimates for fully coupled FBSDEs with jumps

Juan Li, Qingmeng Wei|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用 7

一句话总结

本文在单调性与小利普希茨条件下，建立了带跳的完全耦合倒向随机微分方程（FBSDEs）的$L^p$-估计，证明了适定性，并在小时间区间上推导出关键的$L^p$界。结果扩展了此前针对布朗运动驱动的FBSDEs的研究，对带跳的随机控制与随机微分博弈至关重要。

ABSTRACT

In this paper we study useful estimates, in particular $L^p$-estimates, for fully coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs) with jumps. These estimates are proved at one hand for fully coupled FBSDEs with jumps under the monotonicity assumption for arbitrary time intervals and on the other hand for such equations on small time intervals. Moreover, the well-posedness of this kind of equation is studied and regularity results are obtained.

研究动机与目标

• 在任意时间区间上，针对完全耦合的带跳FBSDEs，在单调性条件下推导$L^p$-估计。
• 在扩散系数与跳跃系数满足小利普希茨条件时，于小时间区间上建立解的存在性与唯一性（即适定性）。
• 推广完全耦合带跳FBSDEs的比较定理，并提供对随机微分博弈与伊萨克斯型PDE至关重要的估计。
• 将现有基于布朗运动驱动的FBSDEs的$L^p$-估计扩展至跳跃扩散情形，尤其关注跳跃鞅分量的处理。

提出的方法

• 在$L^p$-估计证明中采用了一种新方法，特别关注通过估计式(3.11)与(3.15)处理跳跃鞅部分。
• 应用单调性条件，推导完全耦合带跳FBSDEs的$L^2$与$L^p$估计。
• 引入小时间区间框架，当$\sigma$与$h$关于$z$、$k$的利普希茨常数足够小时，可确保适定性。
• 采用变换将终端条件化为零，从而可将定理3.4应用于变换后的系统。
• 通过先验界与压缩映射方法，推导小时间区间上的广义比较定理与$L^p$-估计。
• 使用条件数学期望与伊藤公式处理跳跃扩散过程，尤其在处理跳跃积分与补偿泊松测度时。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单调性条件下为完全耦合带跳FBSDEs建立$L^p$-估计？
• RQ2 在何种条件下可保证此类FBSDEs在小时间区间上的解存在且唯一？
• RQ3 与仅含扩散的情形相比，跳跃分量如何影响$L^p$-估计？
• RQ4 在小利普希茨条件下，能否将比较定理推广至完全耦合带跳FBSDEs？
• RQ5 跳跃鞅部分在推导解分量的$L^p$-界过程中起何作用？

主要发现

• 本文证明了在单调性条件下，完全耦合带跳FBSDEs的$L^p$-估计，其中跳跃鞅部分的关键估计为(3.11)与(3.15)。
• 当时间区间$\delta$足够小时，若利普希茨常数$L_\sigma$与$L_h$足够小，满足$C_p L_\sigma^p < 1$，则FBSDE的适定性得以确立。
• 在小时间区间上的$L^p$-估计为$E[(\int_t^{t+\delta}|Z_r^{t,\zeta}|^2 dr)^{p/2} | \mathcal{F}_t] + E[(\int_t^{t+\delta} \int_E |\widetilde{K}_r^{t,\zeta}(e)|^2 \mu(drde))^{p/2} | \mathcal{F}_t] \leq C_p \delta^{p/2}(1 + |\zeta|^p)$。
• 在小利普希茨条件下，建立了广义比较定理（定理3.3），可实现不同系数下解的比较。
• 即使终端条件$\Phi$为随机变量，结果依然成立，且对初始状态$\zeta \in L^2(\Omega, \mathcal{F}_t, P; \mathbb{R}^n)$的估计具有一致性。
• 推导出关键估计$E[(\int_t^{t+\delta} \int_E |K_r^{t,\zeta}(e)|^2 \lambda(de)dr)^{p/2} | \mathcal{F}_t] \leq C_p \delta^{p/2}(1 + |\zeta|^p)$，证实了跳跃分量的稳定性。