[论文解读] L p -estimates for the heat semigroup on differential forms, and related problems

Jocelyn Magniez, El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文在满足体积加倍和高斯热核估计的完备非紧致黎曼流形上，建立了微分 $k$-形式上热半群的 $L^p$-估计。在曲率算子的负部属于扩展的 Kato 类这一假设下，证明了半群的 $L^p$ 算子范数随时间 $t$ 的增长至多为 $(t\log t)^{D(1-2/p)/4}$，且在更强的亚临界性条件下可获得更优的界。这些结果还导出了梯度估计，并与 Riesz 变换有界性建立了联系。

ABSTRACT

We consider a complete non-compact Riemannian manifold satisfying the volume doubling property and a Gaussian upper bound for its heat kernel (on functions). Let -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k be the Hodge-de Rham Laplacian on differential k-forms with k $\\ge$ 1. By the Bochner decomposition formula -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k = * + R k. Under the assumption that the negative part R -- k is in an enlarged Kato class, we prove that for all p $\\in$ [1, $\\infty$], e --t -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k p--p $\\le$ C(t log t) D 4 (1-- 2 p) (for large t). This estimate can be improved if R -- k is strongly sub-critical. In general, (e --t -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k) t>0 is not uniformly bounded on L p for any p = 2. We also prove the gradient estimate e --t$\\Delta$ p--p $\\le$ Ct -- 1 p , where $\\Delta$ is the Laplace-Beltrami operator (acting on functions). Finally we discuss heat kernel bounds on forms and the Riesz transform on L p for p > 2.

研究动机与目标

• 在非紧致黎曼流形上，建立微分 $k$-形式上热半群 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ 的 $L^p$-界。
• 研究 $L^p$ 算子范数对时间参数 $t$ 和指数 $p$ 的依赖关系，尤其关注 $p \neq 2$ 的情形。
• 阐明曲率，特别是 Ricci 曲率负部，在决定半群 $L^p$ 行为中的作用。
• 将微分 $k$-形式上热半群的 $L^p$-有界性与 $p > 2$ 时 $L^p(M)$ 上 Riesz 变换的有界性联系起来。
• 在函数上导出 Laplace-Beltrami 半群的梯度估计。

提出的方法

• 利用 Bochner 公式将 Hodge-de Rham 拉普拉斯算子分解为 $\overrightarrow{\Delta}_k = \nabla^*\nabla + R_k$，并将 $R_k$ 视为势能项。
• 通过扩展的 Kato 类 $\hat{K}$ 应用控制原理，以控制曲率负部 $R_k^-$。
• 利用半群控制与体积加倍，建立形式上的高斯热核估计。
• 运用 Davies-Gaffney 估计与插值技术，从 $L^2$-界与 $L^{\tilde{p}_0}$-有界性推导出 $L^p$-界。
• 采用非对角估计与 Hardy 空间理论，将半群行为与 Riesz 变换有界性联系起来。
• 利用半群性质与标度论证，推导出以 $t$ 与 $\log t$ 表示的时间依赖增长估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与分析条件下，热半群 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ 在 $L^p(\Lambda^k T^*M)$ 上对 $p \neq 2$ 一致有界？
• RQ2 曲率算子的负部 $R_k^-$ 如何影响 $k$-形式上热半群的 $L^p$-算子范数？
• RQ3 在曲率与 Kato 类假设下，$\|e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}\|_{p-p}$ 的精确时间依赖增长速率为何，尤其当 $t$ 较大时？
• RQ4 微分 $k$-形式上热半群的 $L^p$-有界性与 $p > 2$ 时 $L^p(M)$ 上 Riesz 变换的有界性之间存在何种程度的关联？
• RQ5 在相同假设下，能否导出 $\|\nabla e^{-t\Delta}\|_{p-p}$ 的梯度估计？

主要发现

• 对于 $p \in [1,\infty]$，在体积加倍与高斯热核假设下，$e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ 的 $L^p$-算子范数满足 $\|e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}\|_{p-p} \leq C(t\log t)^{D(1-2/p)/4}$，其中 $t$ 较大时成立。
• 若 $R_k^-$ 为强亚临界，则增长估计可优于一般 $L^p$-界。
• 在一般情况下，即使在给定的曲率与核条件之下，半群 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ 在 $L^p$ 上并非对任意 $p \neq 2$ 一致有界。
• 在相同几何假设下，对所有 $p \in [1,\infty]$，梯度估计 $\|\nabla e^{-t\Delta}\|_{p-p} \leq C t^{-1/p}$ 成立。
• 当且仅当 $1$-形式上热半群在 $L^p(\Lambda^1 T^*M)$ 上一致有界时，Riesz 变换 $d\Delta^{-1/2}$ 在 $L^p(M)$ 上有界，其中 $p \in (1,\infty)$。
• 对 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}}$ 的非对角估计意味着 Hardy 空间 $H^r_{\overrightarrow{\Delta}}$ 与 $L^r$ 在 $r \in (\min(p,p'),2]$ 范围内等价，从而将半群行为与函数空间理论联系起来。