[论文解读] $L^p$-Fourier and Fourier-Stieltjes algebras for locally compact groups

Matthew Wiersma|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文引入并研究了局部紧群 $G$ 的 $L^p$-傅里叶代数与傅里叶-斯蒂尔杰斯代数 $A_{L^p}(G)$ 和 $B_{L^p}(G)$，通过单位酉表示的 $L^p$-矩阵系数对经典傅里叶代数进行推广。主要贡献是将 $SL(2,\mathbb{R})$ 的傅里叶-斯蒂尔杰斯理想完全刻画为 $p \in [2,\infty)$ 时的 $B_{L^p}(G)$，表明这些代数对每个 $p$ 都互不相同，并构成该群的完整不变量。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and $1\leq p

研究动机与目标

• 通过为局部紧群引入 $L^p$-傅里叶代数与傅里叶-斯蒂尔杰斯代数，扩展傅里叶代数理论。
• 研究 $A_{L^p}(G)$ 与 $B_{L^p}(G)$ 的结构性质如何反映底层群 $G$ 的特性。
• 利用 $L^p$-表示刻画 $SL(2,\mathbb{R})$ 的傅里叶-斯蒂尔杰斯理想。
• 证明在 $SL(2,\mathbb{R})$ 上，$B_{L^p}(G)$ 对每个 $p \in [2,\infty)$ 都互不相同。

提出的方法

• 将 $L^p$-表示定义为：在希尔伯特空间中，对一个稠密向量集，其矩阵系数属于 $L^p(G)$ 的酉表示。
• 将 $A_{L^p}(G)$ 构造为 $L^p$-表示的矩阵系数空间，并将 $B_{L^p}(G)$ 定义为 $B(G)$ 中的弱*闭包。
• 利用酉表示的费尔拓扑与弱包含性质分析 $B_{L^p}(G)$ 的结构。
• 应用科林-哈加鲁普-豪定理，证明拟离散系与主系为 $L^{2+\epsilon}$-表示。
• 利用普卡内茨基的张量积定理研究互补系表示，将弱包含关系与 $p$-依赖性联系起来。
• 利用费尔吸收原理与诱导表示的结构，对 $B(G)$ 中的理想进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些局部紧群在 $p \in [2,\infty)$ 时具有互不相同的 $L^p$-傅里叶-斯蒂尔杰斯代数？
• RQ2 $SL(2,\mathbb{R})$ 的傅里叶-斯蒂尔杰斯理想能否通过 $L^p$-表示完全刻画？
• RQ3 互补系表示 $\pi_r$ 在何种 $p$ 下弱包含于 $SL(2,\mathbb{R})$ 的 $L^p$-表示中？
• RQ4 $B_{L^p}(G)$ 与 $C^*_{L^p}(G)$ 是否为 $SL(2,\mathbb{R})$ 的完整不变量？
• RQ5 非阿贝尔或非紧群在 $L^p$-傅里叶-斯蒂尔杰斯代数中是否表现出比经典傅里叶代数更丰富的结构？

主要发现

• 对每个 $p \in [2,\infty)$，$SL(2,\mathbb{R})$ 的 $L^p$-傅里叶-斯蒂尔杰斯代数 $B_{L^p}(SL(2,\mathbb{R}))$ 互不相同。
• $SL(2,\mathbb{R})$ 的 $L^p$-傅里叶代数 $A_{L^p}(G)$ 是一个完整不变量，即 $A_{L^p}(G) = A_{L^q}(G)$ 当且仅当 $p = q$。
• 互补系表示 $\pi_r$ 弱包含于某个 $L^p$-表示中，当且仅当 $r \in [2/p - 1, 0)$。
• 所有非平凡的 $SL(2,\mathbb{R})$ 傅里叶-斯蒂尔杰斯理想要么是全代数 $B(G)$，要么是某个 $p \in [2,\infty)$ 的 $B_{L^p}(G)$。
• $SL(2,\mathbb{R})$ 的 $C^*$-代数 $C^*_{L^p}(SL(2,\mathbb{R}))$ 对每个 $p \in [2,\infty)$ 都互不相同，将奥卡雅苏的结果推广至 $SL(2,\mathbb{R})$。
• 自由群 $\mathbb{F}_\infty$ 拥有不可数个傅里叶-斯蒂尔杰斯理想，其形式并非 $B_{L^p}(\mathbb{F}_\infty)$，表明该刻画具有 $SL(2,\mathbb{R})$ 的特异性。